【基礎数学(数学B)】Module 8：統計的な推測(4) 仮説検定

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本モジュールの目的と構成

前のモジュールでは、手元のデータ（標本）から母集団の未知のパラメータ（母数）を推し量る「推定」について学びました。それは、いわば母集団の姿を「描写」する試みでした。本モジュールで学ぶ「仮説検定」は、そこから一歩進んで、母集団に関する特定の「主張」が正しいと言えるかどうかを、データに基づいて客観的に「判断」するための統計的な手法です。

例えば、「この新しい教育法は、従来の教育法よりも学習効果がある」「このコインは不正に作られており、表が出やすい」といった主張があったとします。これらが単なる個人の感想や憶測に過ぎないのか、それともデータによって裏付けられる合理的な結論なのか。仮説検定は、こうした問題に白黒をつけるための、科学的な意思決定のフレームワークを提供します。その論理は、しばしば「無罪が推定される被告人を、証拠に基づいて有罪かどうか判断する」という刑事裁判のプロセスに喩えられます。

本モジュールを通じて、皆さんはデータという「証拠」を基に、いかにして客観的かつ論理的に「主張」の妥当性を検証するのか、そのための思考法と具体的な技術を体系的に習得します。これは、科学論文の読解から、ビジネスにおけるA/Bテスト、さらには社会にあふれる様々な言説の真偽を見抜くためにまで応用可能な、極めて強力な知的ツールとなります。

本モジュールは、以下の学習項目で構成されています。

仮説検定の考え方:まず、仮説検定がどのような論理構造で成り立っているのか、その核心的なアイデアを学びます。特に、数学の証明で用いる「背理法」との類似性に着目し、確率論的な判断の仕組みを理解します。
帰無仮説と対立仮説:検定の出発点となる二つの対立する仮説、「帰無仮説」と「対立仮説」の立て方を学びます。何を「常識的な立場」とし、何を「証明したい主張」とするのか。この設定が、検定全体の方向性を決定づけます。
有意水準と棄却域:「どの程度珍しいことが起きたら、常識的な立場を捨てるのか」という判断基準である「有意水準」と、それに基づいて設定される「棄却域」の概念を学びます。これは、統計的な意思決定におけるリスク許容度を定める重要なステップです。
仮説検定の手順:これまでの概念を統合し、仮説検定をどのようなステップで進めていくのか、その一連の標準的な手続きを具体的に学びます。この手順をマスターすることが、様々な検定問題を解く上での揺るぎない土台となります。
母平均の検定:最も基本的な仮説検定の一つである、母集団の平均値に関する検定手法を学びます。「製品の平均重量は、規定値と異なると言えるか」といった具体的な問題を解決するための技術を習得します。
母比率の検定:アンケート調査や品質管理で重要な「割合」に関する検定手法を学びます。「新薬の有効率は、従来の薬より高いと言えるか」といった主張の妥当性を、データに基づいて判断する方法を身につけます。
第1種の過誤と第2種の過誤:統計的な判断には、常に間違いを犯すリスクが伴います。仮説検定における二種類の間違い、「第1種の過誤」と「第2種の過誤」の意味を理解し、両者がトレードオフの関係にあることを学びます。
検出力:検定が、本来検出するべき「違い」を正しく見つけ出す能力である「検出力」について学びます。より信頼性の高い結論を導くために、いかにして検出力を高めるかを考察します。
適合度検定・独立性検定（紹介）:発展的な内容として、観測データが特定の分布に適合しているかを調べる「適合度検定」や、二つの変数が互いに関連しているかを調べる「独立性検定」といった、より応用範囲の広い検定手法について紹介します。
統計的な意思決定:本モジュールの総括として、仮説検定が単なる計算技術ではなく、データに基づいて未来の行動を決定するための、合理的な「意思決定」の枠組みであることを再確認します。

このモジュールを修了する時、皆さんはデータと確率の言葉を用いて、主張の正当性を論理的に検証し、不確実性の中でより良い判断を下すための「対話の作法」を身につけていることでしょう。

1. 仮説検定の考え方

統計的仮説検定（しばしば単に「検定」と呼ばれます）は、一見すると複雑な数式や専門用語が多く、難解に感じられるかもしれません。しかし、その根底にある思考のプロセスは、私たちが日常的に行っている推論や、数学で学んだ論理構造と深く結びついています。このセクションでは、具体的な例を通じて、仮説検定の核心にある基本的なアイデアをつかんでいきましょう。

1.1. 日常的な推論からの出発

友人Aが、新しいコインを手に入れてこう言ったとします。「このコイン、なんだか妙に表が出やすい気がするんだ。イカサマのコインじゃないかな？」。

このAの主張（仮説）が正しいかどうかを、あなたはどうやって判断するでしょうか。

おそらく、実際にそのコインを何度も投げてみるでしょう。例えば、10回投げてみたとします。

ケース1：表が6回、裏が4回出たこの結果を見て、あなたはおそらく「まあ、普通のコインでもこれくらいの偏りは起こるだろう。イカサマだと断定はできないな」と考えるでしょう。
ケース2：表が10回連続で出たこの結果を見たら、どうでしょうか。「普通のコインで10回連続表が出る確率は \( (1/2)^{10} = 1/1024 \) しかない。これは極めて珍しい。もしかしたら、本当にこのコインは表が出やすいように作られているのかもしれない」と、Aの主張に信憑性を感じるのではないでしょうか。

この推論プロセスの中に、仮説検定の基本的な要素がすべて含まれています。

まず「普通のコインだ（イカサマではない）」と仮定する: 私たちは、Aの主張を検証するために、まずその反対の立場、つまり「このコインは公正で、表と裏が等確率(1/2)で出る」という常識的な立場を仮定しました。
その仮定のもとで、実験結果が起こる確率を評価する: 「普通のコインだ」という仮定のもとで、観測されたデータ（10回連続で表）が、どれほど「珍しい」出来事なのかを確率的に評価しました。
確率が非常に小さければ、最初の仮定を疑う: 非常に珍しい（起こる確率が極めて低い）結果が実際に起きてしまった場合、「これは単なる偶然とは考えにくい。そもそも最初の『普通のコインだ』という仮定が間違っていたのではないか」と結論付け、Aの主張（表が出やすい）の方がもっともらしい、と判断するわけです。

仮説検定とは、まさにこの**「まず疑わしい主張とは反対の立場を仮定し、その仮定のもとでは極めて起こりにくい事実が観測されたことを根拠に、その仮定を棄却（否定）し、間接的に本来の主張を支持する」**という論法を、数学的に厳密な手続きとして体系化したものなのです。

1.2. 論理構造：背理法との類似性

この検定の論理構造は、数学の証明で用いられる**背理法（proof by contradiction）**に非常によく似ています。

背理法の手順を思い出してみましょう。

証明したい命題の否定を仮定する:例えば「\(\sqrt{2}\) は無理数である」ことを証明したい場合、まずその否定である「\(\sqrt{2}\) は有理数である」と仮定します。
その仮定から論理的に矛盾を導く:「\(\sqrt{2}\) は有理数である」という仮定から、\(\sqrt{2} = p/q\) （\(p, q\)は互いに素な整数）と置くことができ、式変形を進めていくと、最終的に「\(p\) と \(q\) が共に偶数である」という結論に至ります。これは、「\(p, q\) は互いに素である」という最初の設定と矛盾します。
矛盾が導かれたので、最初の仮定が誤りであったと結論する:矛盾が生じたのは、出発点である「\(\sqrt{2}\) は有理数である」という仮定が誤っていたからに他なりません。したがって、その否定である「\(\sqrt{2}\) は無理数である」が真であると結論できます。

仮説検定の論理も、この背理法のアナロジーで捉えることができます。

背理法	仮説検定
① 証明したい命題の否定を仮定する	① 主張したい仮説の否定（帰無仮説）を仮定する
② 仮定から論理的な矛盾を導く	② 仮定のもとで、観測データが確率的に極めて起こりにくいことを示す
③ 矛盾したので、仮定は誤りと結論	③ 極めて起こりにくいことが起きたので、仮定は疑わしい（棄却する）と結論

両者の決定的な違いは、結論の確実性にあります。

背理法では、「論理的な矛盾」という100%ありえない事態を導くため、結論は絶対的に真であると断定できます。

一方、仮説検定で示すのは、「確率的に極めて起こりにくい」という事実に過ぎません。コインが10回連続で表になることも、1/1024という低い確率ではありますが、絶対に起こらないわけではありません。もしかしたら、私たちはその極めて稀な偶然を、ただ目撃しただけなのかもしれないのです。

1.3. 統計的判断の本質：「確率的な背理法」

このため、仮説検定は「絶対的な証明」ではなく、**「確率的な判断」**を下すための手続きとなります。私たちは、ある基準（例えば「確率が5%未満」や「1%未満」）をあらかじめ設定しておき、観測されたデータがその基準を下回るほど珍しい現象であれば、「これは合理的な疑いの余地なく珍しい。よって、最初の仮定は棄却しよう」と判断するのです。

この判断には、常に間違いを犯す可能性が付きまといます。

本当は「普通のコイン」なのに、たまたま10回連続で表が出てしまい、「イカサマコインだ」と誤って結論づけてしまう可能性。
本当は「イカサマコイン」なのに、たまたま表が5回、裏が5回とバランス良く出てしまい、「普通のコインだ」と判断し、イカサマを見逃してしまう可能性。

仮説検定とは、こうした間違いを犯すリスクをゼロにすることを目指すのではなく、そのリスクの大きさを確率的にコントロールしながら、データに基づいて合理的な意思決定を行うための枠組みなのです。

この「確率的な背理法」とも言える思考様式こそが、統計的仮説検定の根幹をなす考え方です。次のセクションからは、この論理を遂行するための具体的な「登場人物」である、帰無仮説、対立仮説、有意水準といった概念を一つずつ定義し、その役割を明らかにしていきます。

2. 帰無仮説と対立仮説

仮説検定は、二つの対立する仮説を設定することから始まります。これらは「帰無仮説」と「対立仮説」と呼ばれ、検定の目的と方向性を定める羅針盤の役割を果たします。この二つの仮説を正しく設定することが、検定を成功させるための第一歩であり、最も重要なステップと言っても過言ではありません。

2.1. 帰無仮説 (Null Hypothesis, \(H_0\))：棄却されるために立てる仮説

**帰無仮説（きむかせつ）とは、検定において「まず正しいと仮定される立場」であり、最終的にデータという証拠によって「棄却（否定）されることを目指す仮説」**です。通常、記号 \(H_0\) で表されます。

帰無仮説は、多くの場合、以下のような「差がない」「効果がない」「関連がない」といった、消極的で常識的な内容を表します。

「コインの表が出る確率は1/2である」（偏りがない）
「新しい教育法の学習効果は、従来の教育法と変わらない」（効果がない）
「A薬の平均副作用発生率は、B薬と同じである」（差がない）
「身長と体重に関連はない」（関連がない）

なぜ、このような消極的な仮説を立てるのでしょうか。それは、前セクションで見た検定の論理構造（確率的な背理法）に由来します。私たちは、ある主張（例：「このコインは表が出やすい」）を直接証明することはしません。その代わり、その主張と反対の立場（例：「このコインは偏りがない」）をいったん仮定し、その仮定がデータと照らし合わせてみて、いかにもっともらしくないか、を検証するのです。

刑事裁判のアナロジーで言えば、帰無仮説は**「被告人は無罪である (presumption of innocence)」**という原則に相当します。検察官（調査者）は、被告人が有罪であることを直接証明しようとするのではなく、「無罪である」という仮定のもとでは、説明のつかない強力な証拠（データ）を提示することで、この「無罪」という仮定を覆そうと試みるのです。

「帰無」という言葉は、「無に帰せしめたい仮説」と解釈すると、その役割が分かりやすいでしょう。

2.2. 対立仮説 (Alternative Hypothesis, \(H_1\) or \(H_A\))：証明したい主張

対立仮説（たいりつかせつ）とは、帰無仮説が棄却された場合に採択される仮説であり、多くの場合、調査者がデータによって証明したい、あるいは検証したいと考えている積極的な主張そのものです。通常、記号 \(H_1\) または \(H_A\) で表されます。

対立仮説は、帰無仮説とは正反対に、「差がある」「効果がある」「関連がある」といった内容を表します。

「コインの表が出る確率は1/2ではない」（偏りがある）
「新しい教育法の学習効果は、従来の教育法よりも高い」（効果がある）
「A薬の平均副作用発生率は、B薬と異なる」（差がある）
「身長と体重には正の関連がある」（関連がある）

刑事裁判のアナロジーでは、対立仮説は検察官が主張する**「被告人は有罪である」**という内容に相当します。対立仮説は、帰無仮説が証拠（データ）によって棄却された結果として、間接的に支持されることになります。

したがって、仮説検定のプロセスは、帰無仮説 \(H_0\) と対立仮説 \(H_1\) のどちらか一方を「証明」するのではなく、あくまで \(H_0\) を棄却できるかどうかに焦点を当てます。そして、\(H_0\) を棄却するのに十分な証拠が得られた場合に限り、消去法的に \(H_1\) を採択する、という構造になっています。

2.3. 仮説の設定例

具体的な状況に応じて、\(H_0\) と \(H_1\) を数式で表現してみましょう。母集団のパラメータ（母平均 \(\mu\)、母比率 \(p\) など）に着目します。

例1：コインの偏りの検証

調査者が主張したいのは「コインの表が出る確率は1/2ではない」ということです。

帰無仮説 \(H_0\): \(p = 0.5\) （コインに偏りはない）
対立仮説 \(H_1\): \(p \neq 0.5\) （コインに偏りがある）

例2：新薬の効果の検証

ある病気の治癒率が、従来の薬では40%であることが知られています。新薬がこれより効果があるか（治癒率が高いか）を検証したい。

帰無仮説 \(H_0\): \(p = 0.4\) （新薬の効果は従来薬と同じ）
対立仮説 \(H_1\): \(p > 0.4\) （新薬の効果は従来薬より高い）

例3：製品重量の管理

ある製品の規定重量は500gです。製造工程が正しく管理されているか、平均重量が500gからずれていないかを検証したい。

帰無仮説 \(H_0\): \(\mu = 500\) （平均重量は規定通り）
対立仮説 \(H_1\): \(\mu \neq 500\) （平均重量は規定からずれている）

2.4. 両側検定と片側検定

対立仮説の立て方によって、検定は「両側検定」と「片側検定」の二種類に分類されます。これは、どのような「違い」を検出したいかによって使い分けられます。

両側検定 (Two-tailed test)対立仮説が「\(\neq\)」（等しくない）という形で設定される検定です。これは、基準値からの**「正負両方向のズレ」**を問題にする場合に行われます。
- 例：\(H_0: \mu = 500, \quad H_1: \mu \neq 500\)この場合、製品の平均重量が500gより重すぎても、軽すぎても、どちらも「異常」として検出したいわけです。
片側検定 (One-tailed test)対立仮説が「\(>\)」（より大きい）または「\(<\)」（より小さい）という形で設定される検定です。これは、基準値からの**「特定の片方向のズレ」**のみに関心がある場合に行われます。
- 例：\(H_0: p = 0.4, \quad H_1: p > 0.4\)この新薬の例では、調査者の関心は「効果が従来薬よりも高い」ことだけであり、もし効果が低かったとしても、それは「効果がない」という結論に包含されるため、特に区別する必要はありません。このような場合に片側検定（特に、対立仮説が > なので右上側検定）を用います。
- もし、「新しいダイエット食品は、摂取カロリーを減少させる効果があるか」を検証したいのであれば、対立仮説は \(H_1: \mu < (\text{基準値})\) となり、左片側検定となります。

どちらの検定を用いるべきか？

それは、調査者が何を主張したいのか、その目的に依存します。一般的に、特定の方向への効果を理論的に予測している場合（例：薬の効果、学習効果など）は片側検定が、単に基準とのズレや二つのグループ間の差の有無を問題にする場合（例：品質管理、男女間の差の検証など）は両側検定が用いられる傾向にあります。

重要な注意点

仮説（特に片側か両側か）は、必ずデータを収集して見る前に設定しなければなりません。データを取ってみて、標本平均が基準値より大きかったからという理由で、後付けで対立仮説を \(H_1: \mu > (\text{基準値})\) と設定することは、統計的に不正な行為（p-hacking と呼ばれることもあります）です。それは、自分に都合の良い結論を導くための恣意的な操作であり、検定の客観性を著しく損ないます。

帰無仮説と対立仮説は、これから始まるデータとの対話における「議題」を明確に定義するものです。この設定を曖昧にしてしまうと、その後の分析全体が意味をなさなくなってしまうほど、重要なステップなのです。

3. 有意水準と棄却域

帰無仮説と対立仮説を設定したら、次に行うべきは「どのような証拠（データ）が得られたら、帰無仮説を棄却するのか」という判断の基準を明確に定めることです。この基準を定義するのが、「有意水準」と「棄却域」という二つの密接に関連した概念です。

3.1. 検定における判断基準の必要性

コイン投げの例に戻りましょう。帰無仮説は「\(H_0\): コインは公正（表の出る確率 \(p=0.5\)）」でした。この仮説のもとで、実際にコインを20回投げて、表が18回出たとします。

この「20回中18回以上表が出る」という事象は、\(H_0\) が正しいと仮定した場合、非常に低い確率でしか起こりません（約0.0002、つまり0.02%）。これは十分に「珍しい」出来事であり、\(H_0\) を棄却する強力な証拠となりそうです。

では、もし表が14回出た場合はどうでしょうか。

「20回中14回以上表が出る」確率を計算すると、約0.0577、つまり約5.8%となります。これは、珍しいと言えるでしょうか？それとも、偶然の範囲内と考えるべきでしょうか？人によって判断が分かれるかもしれません。

このように、どこからを「単なる偶然とは考えにくい、十分に珍しい出来事」と見なすのか、その境界線を主観ではなく、客観的な基準としてあらかじめ設定しておく必要があります。その基準となる確率が「有意水準」です。

3.2. 有意水準 (Significance Level, \(\alpha\))：判断の「ものさし」

有意水準とは、**「帰無仮説が正しいにもかかわらず、偶然にも非常に珍しいデータが得られてしまったために、帰無仮説を誤って棄却してしまう確率」**のことであり、その最大許容値を指します。通常、ギリシャ文字の **\(\alpha\) （アルファ）**で表されます。

\(\alpha\) の役割: 有意水準 \(\alpha\) は、検定を行う者が「これ以上確率が低い事象が起きたら、それはもはや偶然とは考えず、帰無仮説が間違っている証拠と見なそう」と決める**判断の閾値（しきいち）**です。
一般的な設定値: \(\alpha\) の値は、調査者がその意思決定の重要度に応じて設定しますが、科学の多くの分野では、慣習的に \(\alpha = 0.05\) (5%) または \(\alpha = 0.01\) (1%) が用いられます。より厳密な証明が求められる場合には、\(\alpha = 0.001\) (0.1%) といった、さらに小さい値が設定されることもあります。
解釈: 有意水準を5% (\(\alpha = 0.05\)) に設定するとは、「もし帰無仮説が正しいとしたら、起こる確率が5%しかないような珍しい事象が、今回の実験・調査で実際に起きてしまった。これは単なる偶然とは考えにくい。したがって、帰無仮説は棄却されるべきだ」という判断基準を、データを取る前に採用することを意味します。

このとき、帰無仮説が棄却されるという結果を**「統計的に有意である (statistically significant)」**と表現します。例えば、「有意水準5%で統計的に有意な差が見られた」という言い方をします。これは、「観測された差が、単なる偶然のばらつきから生じたとは考えにくく（その確率が5%未満であり）、何らかの本質的な差を反映している可能性が高い」という意味合いです。

3.3. 棄却域 (Rejection Region)：帰無仮説を棄却するデータの範囲

有意水準 \(\alpha\) を設定すると、それに伴って棄却域が具体的に定まります。

棄却域とは、**「もし、観測されたデータから計算した統計量（検定統計量と呼びます）がこの領域の値をとったならば、帰無仮説を棄却する」**とあらかじめ定めておく、値の範囲のことです。

この棄却域は、**「帰無仮説 \(H_0\) が正しいという仮定のもとで、検定統計量がその領域に含まれる確率が、ちょうど有意水準 \(\alpha\) となる」**ように設定されます。

棄却域の形は、両側検定か片側検定かによって異なります。

母平均の検定（\(H_0: \mu = \mu_0\)）を例に、検定統計量 \(Z = \frac{\bar{X} – \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\) が標準正規分布に従う場合を考えてみましょう。

両側検定 (\(H_1: \mu \neq \mu_0\))平均値が \(\mu_0\) から大きくずれる（正の方向にも負の方向にも）と、\(H_0\) は疑わしくなります。そこで、確率分布の両端に棄却域を設けます。有意水準を \(\alpha\) とすると、両端の面積の合計が \(\alpha\) となるように、片側の面積をそれぞれ \(\alpha/2\) とします。標準正規分布の場合、棄却域は \(Z \le -z_{\alpha/2}\) または \(Z \ge z_{\alpha/2}\) となります。例えば、\(\alpha=0.05\) ならば \(z_{0.025}=1.96\) なので、棄ው域は \(Z \le -1.96\) または \(Z \ge 1.96\) です。計算した \(Z\) の値がこの範囲に入れば、\(H_0\) を棄却します。
右片側検定 (\(H_1: \mu > \mu_0\))平均値が \(\mu_0\) よりも著しく大きい場合に、\(H_0\) は疑わしくなります。そこで、確率分布の右端にのみ棄却域を設けます。右端の面積がちょうど \(\alpha\) となるように設定します。標準正規分布の場合、棄却域は \(Z \ge z_{\alpha}\) となります。例えば、\(\alpha=0.05\) ならば \(z_{0.05}=1.645\) なので、棄却域は \(Z \ge 1.645\) です。
左片側検定 (\(H_1: \mu < \mu_0\))平均値が \(\mu_0\) よりも著しく小さい場合に、\(H_0\) は疑わしくなります。そこで、確率分布の左端にのみ棄却域を設けます。左端の面積がちょうど \(\alpha\) となるように設定します。標準正規分布の場合、棄却域は \(Z \le -z_{\alpha}\) となります。例えば、\(\alpha=0.05\) ならば \(-z_{0.05}=-1.645\) なので、棄却域は \(Z \le -1.645\) です。

棄却域ではない残りの領域（確率 \(1-\alpha\) の部分）を採択域 (Acceptance Region) と呼びます。ただし、この領域に検定統計量が入ったからといって「\(H_0\) が正しいと積極的に証明された」と解釈するのは誤りです。正しくは**「\(H_0\) を棄却するのに十分な証拠は得られなかった」**と解釈すべきです。これは、刑事裁判で「無罪」の判決が下されても、それは「被告人が絶対に犯人ではないと証明された」ことを意味するのではなく、「有罪とするには証拠が不十分であった」ことを意味するのと似ています。

3.4. p値 (p-value)：結果の「珍しさ」を表す確率

棄却域を用いて判断する方法と密接に関連し、現代の統計ではより一般的に用いられるのがp値を用いる方法です。

p値とは、**「帰無仮説が正しいと仮定したときに、観測されたデータ（あるいはそれ以上に極端なデータ）が得られる確率」**のことです。

p値の解釈: p値は、観測された結果が、\(H_0\) のもとでどれほど「珍しい」かを示す事後的な確率です。p値が小さければ小さいほど、観測された結果は \(H_0\) のもとでは起こりにくい、つまり \(H_0\) にとって都合の悪い証拠であることを意味します。
判断基準: p値を用いた判断は非常にシンプルです。
- \(p \le \alpha\) ならば、帰無仮説 \(H_0\) を棄却する。
- \(p > \alpha\) ならば、帰無仮説 \(H_0\) を棄却しない。

つまり、実際に観測されたデータの「珍しさの度合い（p値）」が、あらかじめ設定した「判断基準の珍しさ（有意水準 \(\alpha\)）」を上回った（確率が下回った）場合に、\(H_0\) を棄却する、というロジックです。

p値の利点

p値を用いると、単に「棄却するかしないか」の二元論的な結論だけでなく、その結果がどの程度の強さで有意であるかを定量的に示すことができます。

例えば、有意水準5%のもとで、

p値が0.04であれば、ギリギリ有意であったことが分かります。
p値が0.0001であれば、極めて強い証拠をもって有意であったことが分かります。

棄却域を用いる方法は、検定統計量が棄却域に入ったか出たかしか分かりませんが、p値はその「入り具合」の程度まで報告してくれるため、より情報量の多いアプローチと言えます。

有意水準と棄却域（またはp値）は、仮説検定という名の法廷における「法律」や「判例」に相当します。感情や主観を排し、定められたルールに従って淡々とデータを裁く。それによって、統計的判断の客観性と再現性が担保されるのです。

4. 仮説検定の手順

これまで学んできた「仮説検定の考え方」「帰無仮説と対立仮説」「有意水準と棄却域」という三つの要素を統合し、仮説検定を実行するための標準的な手順を学びます。どのような検定問題であっても、基本的にはこの一連の流れに沿って思考・計算を進めていくことになります。この手順を体に覚え込ませることが、検定を自在に使いこなすための鍵となります。

4.1. 仮説検定の5ステップ

仮説検定は、以下の5つのステップで構成されます。

Step 1：仮説の設定

まず、何を検証したいのかを明確にし、それを帰無仮説 (\(H_0\)) と対立仮説 (\(H_1\)) の形で定式化します。

帰無仮説 (\(H_0\)): 「差がない」「効果がない」といった、棄却される対象となる仮説。通常、等号（\(=\)）を使って表現されます。（例：\(H_0: \mu = 500\)）
対立仮説 (\(H_1\)): 調査者が主張したい「差がある」「効果がある」といった仮説。問題設定に応じて、両側検定 (\(\neq\)) か片側検定 (\(>\) or \(<\)) かを決定します。（例：\(H_1: \mu \neq 500\)）

Step 2：有意水準の決定

次に、どの程度の珍しさをもって帰無仮説を棄却するのか、その判断基準となる有意水準 \(\alpha\) を設定します。

特に指定がない場合は、慣習的によく用いられる \(\alpha = 0.05\) (5%) や \(\alpha = 0.01\) (1%) を用います。問題文で指定されている場合は、その値に従います。

Step 3：検定統計量の選択と計算

設定した仮説を検証するのに適した検定統計量 (Test Statistic) を選択し、観測された標本データを用いてその値を計算します。

検定統計量: 帰無仮説が正しいという仮定のもとで、その確率分布が既知であるような統計量です。何を検定したいか（母平均、母比率など）や、与えられている条件（母分散が既知か未知かなど）によって、用いるべき検定統計量が異なります。
- 母平均の検定（母分散既知、またはnが大きい）： \(Z = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)
- 母平均の検定（母分散未知、nが小さい）： \(t = \frac{\bar{x} – \mu_0}{u/\sqrt{n}}\)
- 母比率の検定： \(Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)
これらの計算式に、データから得られた標本平均 \(\bar{x}\) や標本比率 \(\hat{p}\)、標本の大きさ \(n\) などを代入し、具体的な値を算出します。

Step 4：棄却ルールの決定と判定

計算した検定統計量の値に基づいて、帰無仮説を棄却するかどうかを判定します。この判定には、主に二つのアプローチがあります（どちらを使っても結論は同じです）。

アプローチA：棄却域法
1. 有意水準 \(\alpha\) と対立仮説の種類（両側/片側）に基づき、棄却域を決定します。（例：両側検定、\(\alpha=0.05\)なら、棄却域は \(Z \le -1.96\) または \(Z \ge 1.96\)）
2. Step 3で計算した検定統計量の値が、この棄却域に含まれるかどうかを判定します。
アプローチB：p値法
1. Step 3で計算した検定統計量よりもさらに極端な値が得られる確率である p値を計算します。（例：\(Z=2.10\) のときの両側p値は、\(P(Z \le -2.10 \text{ or } Z \ge 2.10)\) ）
2. 算出したp値と、Step 2で設定した有意水準 \(\alpha\) の大小を比較します。

Step 5：結論

最後に、判定結果を解釈し、元の問題の文脈に沿った形で結論を述べます。

帰無仮説が棄却された場合:「有意水準〇%で、帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択される。したがって、（対立仮説の内容）と言える。」（例：「有意水準5%で、平均重量は500gと異なると言える。」）このとき、「統計的に有意な差がある」という表現を用います。
帰無仮説が棄却されなかった場合:「有意水準〇%で、帰無仮説を棄却することはできない。したがって、（対立仮説の内容）とは言えない。」（例：「有意水準5%で、平均重量が500gと異なるとは言えない。」）このとき、「統計的に有意な差があるとは言えない」という表現を用います。「差がないことが証明された」という断定的な表現は避けるべきです。

4.2. フローチャートで見る手順

この5ステップの流れをフローチャートで示すと、以下のようになります。

コードスニペット

graph TD
    A[Step 1: 仮説の設定<br>H₀, H₁を立てる] --> B[Step 2: 有意水準の決定<br>α を設定する];
    B --> C[Step 3: 検定統計量の計算<br>データからZ値やt値を計算];
    C --> D{Step 4: 判定};

    subgraph D [棄却ルール]
        D1[アプローチA: 棄却域法]
        D2[アプローチB: p値法]
    end

    D1 --> E1{計算した統計量は<br>棄却域の中か？};
    D2 --> E2{p値 < α か？};

    E1 -- Yes --> F[Step 5: 結論<br>H₀を棄却する];
    E1 -- No --> G[Step 5: 結論<br>H₀を棄却しない];
    E2 -- Yes --> F;
    E2 -- No --> G;

    F --> H["対立仮説の内容を主張する<br>「有意差あり」"];
    G --> I["対立仮説の内容を主張できない<br>「有意差ありとは言えない」"];

4.3. 具体例を通した手順の確認

問題: ある薬の副作用で頭痛が起こる確率は、従来0.1 (10%) であることが知られている。新しい薬を100人に投与したところ、6人が頭痛を訴えた。この新しい薬の副作用の確率は、従来よりも低いと言えるか。有意水準5%で検定しなさい。

Step 1：仮説の設定

検証したい主張は「新しい薬の副作用の確率が0.1より低い」こと。
帰無仮説 \(H_0\): \(p = 0.1\) （副作用の確率は従来と変わらない）
対立仮説 \(H_1\): \(p < 0.1\) （副作用の確率は従来より低い）
これは左片側検定である。

Step 2：有意水準の決定

問題文の指定より、\(\alpha = 0.05\)。

Step 3：検定統計量の選択と計算

母比率の検定なので、検定統計量 \(Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\) を用いる。
標本データから、\(n=100\), \(x=6\) なので、標本比率 \(\hat{p} = 6/100 = 0.06\)。
\(H_0\) のもとで \(p_0 = 0.1\)。
値を代入して \(Z\) を計算する。Z=frac0.06−0.1sqrt0.1(1−0.1)/100=frac−0.04sqrt0.09/100=frac−0.040.3/10=frac−0.040.03approx−1.33

Step 4：棄却ルールの決定と判定（棄却域法で考える）

左片側検定、有意水準 \(\alpha = 0.05\) の場合、標準正規分布における棄却域は \(Z \le -z_{0.05} = -1.645\)。
計算した検定統計量は \(Z \approx -1.33\)。
\(-1.33\) は \(-1.645\) よりも大きいので、棄却域に含まれない。

Step 5：結論

有意水準5%で、帰無仮説 \(H_0\) を棄却することはできない。
したがって、「新しい薬の副作用の確率が従来よりも低いとは言えない」。

この例のように、一見複雑に見える検定問題も、定められた手順に沿って一つ一つのステップを確実に実行していくことで、誰でも同じ客観的な結論にたどり着くことができます。この手続きの普遍性と再現性こそが、仮説検定が科学的なツールとして信頼されている理由なのです。

5. 母平均の検定

仮説検定の応用として最も基本的かつ重要なものが、母集団の平均（母平均 \(\mu\)）に関する検定です。これは、ある集団の平均値が、特定の基準値と等しいと言えるか、あるいは二つの異なる集団の平均値に差があると言えるか、といった問題を統計的に検証する際に用いられます。

5.1. 母平均の検定が利用される場面

品質管理: ある工場で生産されるボルトの平均長が、設計仕様である10.0cmと異なっていないか。
教育効果の測定: 新しい指導法を導入したクラスのテストの平均点が、全国平均である70点よりも高いと言えるか。
生物学: 特定の肥料を与えた作物の平均収穫量が、与えなかった作物よりも多いと言えるか。（これは2標本問題と呼ばれ、発展的な内容です。ここでは1標本の平均値と基準値の比較を中心に扱います。）
マーケティング: ウェブサイトのデザインを変更した後、ユーザーの平均滞在時間が変更前よりも長くなったか。

これらの問題はすべて、標本データから得られる標本平均 \(\bar{x}\) をもとに、未知の母平均 \(\mu\) に関する仮説を検証するという共通の構造を持っています。

5.2. 検定の手順（母分散既知、またはnが大きい場合）

母集団の分散 \(\sigma^2\) が既知であるか、あるいは未知であっても標本の大きさ \(n\) が十分に大きい（目安として \(n \ge 30\)）場合には、中心極限定理により、検定統計量として標準正規分布に従う \(Z\) を用いることができます。

検定統計量 Z

Z=fracbarX−mu_0sigma/sqrtn

ここで、

\(\bar{X}\): 標本平均
\(\mu_0\): 帰無仮説における母平均の値
\(\sigma\): 母標準偏差（未知の場合は不偏標準偏差 \(u\) で代用）
\(n\): 標本の大きさ

この \(Z\) を用いて、前セクションで学んだ5ステップの手順に従って検定を行います。

5.3. 具体例（両側検定）

問題: ある飲料メーカーが、内容量500mlのペットボトルを生産している。品質管理のため、製品から100本を無作為抽出して内容量を測定したところ、その平均は498.5mlであった。過去の実績から、内容量の母標準偏差は5mlであることが分かっている。この生産ラインから作られる製品の平均内容量は、500mlと異なると言えるか。有意水準5%で検定しなさい。

Step 1：仮説の設定

平均内容量が500mlと「異なる」かを検証したいので、両側検定。
帰無仮説 \(H_0\): \(\mu = 500\) （平均内容量は500mlである）
対立仮説 \(H_1\): \(\mu \neq 500\) （平均内容量は500mlではない）

Step 2：有意水準の決定

問題の指定より、\(\alpha = 0.05\)。

Step 3：検定統計量の選択と計算

母平均の検定で、母標準偏差 \(\sigma\) が既知なので、\(Z\) 統計量を用いる。
与えられた値は、\(\bar{x} = 498.5\)、\(\mu_0 = 500\)、\(\sigma = 5\)、\(n = 100\)。
検定統計量 \(Z\) の値を計算する。Z=frac498.5−5005/sqrt100=frac−1.55/10=frac−1.50.5=−3.00

Step 4：棄却ルールの決定と判定

棄却域法:
- 両側検定、有意水準 \(\alpha = 0.05\) なので、棄却域は \(Z \le -1.96\) または \(Z \ge 1.96\)。
- 計算した検定統計量 \(Z = -3.00\) は、\(Z \le -1.96\) を満たすので、棄却域に含まれる。
p値法:
- 両側検定なので、\(Z = -3.00\) よりも極端な値を取る確率を求める。
- \(p\)値 = \(P(Z \le -3.00) + P(Z \ge 3.00) = 2 \times P(Z \ge 3.00)\)
- 標準正規分布表より、\(P(Z \ge 3.00) = 0.0013\)。
- よって、\(p\)値 = \(2 \times 0.0013 = 0.0026\)。
- このp値 (0.0026) は、有意水準 \(\alpha = 0.05\) よりも小さい (\(p < \alpha\))。

どちらの方法でも、判定は「帰無仮説を棄却する」となる。

Step 5：結論

有意水準5%で帰無仮説は棄却される。
したがって、この生産ラインから作られる製品の平均内容量は、500mlと異なると言える。

この結果は、統計的に有意な差があることを示唆しており、メーカーは生産工程に何らかの調整が必要であると判断するかもしれません。

5.4. 具体例（片側検定）

問題: ある地域の高校生の平均学習時間は、全国平均である2.0時間/日であることが知られている。ある高校が新しい学習プログラムを導入した後、36人の生徒を無作為に選んで調査したところ、平均学習時間は2.4時間/日、不偏標準偏差は1.8時間であった。この高校の生徒の平均学習時間は、全国平均よりも長いと言えるか。有意水準5%で検定しなさい。

Step 1：仮説の設定

全国平均よりも「長い」かを検証したいので、右片側検定。
帰無仮説 \(H_0\): \(\mu = 2.0\) （平均学習時間は全国平均と同じ）
対立仮説 \(H_1\): \(\mu > 2.0\) （平均学習時間は全国平均より長い）

Step 2：有意水準の決定

問題の指定より、\(\alpha = 0.05\)。

Step 3：検定統計量の選択と計算

母平均の検定で、母標準偏差 \(\sigma\) は未知だが、\(n=36\) は十分に大きいので、\(\sigma\) の代わりに不偏標準偏差 \(u\) を用いて \(Z\) 統計量で近似する。（厳密にはt検定を用いるべきケースだが、高校数学ではZで近似することが多い。）
与えられた値は、\(\bar{x} = 2.4\)、\(\mu_0 = 2.0\)、\(u = 1.8\)、\(n = 36\)。
検定統計量 \(Z\) の値を計算する。Z=frac2.4−2.01.8/sqrt36=frac0.41.8/6=frac0.40.3approx1.33

Step 4：棄却ルールの決定と判定

棄却域法:
- 右片側検定、有意水準 \(\alpha = 0.05\) なので、棄却域は \(Z \ge 1.645\)。
- 計算した検定統計量 \(Z \approx 1.33\) は、棄却域に含まれない。
p値法:
- 右片側検定なので、\(Z = 1.33\) よりも大きい値を取る確率を求める。
- \(p\)値 = \(P(Z \ge 1.33)\)
- 標準正規分布表より、\(P(Z \ge 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918\)。
- このp値 (0.0918) は、有意水準 \(\alpha = 0.05\) よりも大きい (\(p > \alpha\))。

どちらの方法でも、判定は「帰無仮説を棄却しない」となる。

Step 5：結論

有意水準5%で帰無仮説は棄却できない。
したがって、この高校の生徒の平均学習時間が全国平均よりも長いとは言えない。

観測された平均学習時間2.4時間は、確かに全国平均2.0時間よりも長いですが、その差は標本のばらつきによる偶然の範囲内である可能性を否定できない、という結論になります。

5.5. t検定について（発展）

標本の大きさ \(n\) が小さく（例えば \(n < 30\)）、かつ母分散 \(\sigma^2\) が未知の場合には、検定統計量として \(Z\) の代わりに自由度 \(n-1\) のt分布に従う \(t\) 統計量を用いるのがより正確です。これをt検定と呼びます。

t=fracbarX−mu_0U/sqrtn

棄却域やp値を求める際には、標準正規分布表の代わりにt分布表を用いますが、検定の基本的な5ステップの論理の流れは全く同じです。

6. 母比率の検定

母平均の検定と同様に、母集団の比率（母比率 \(p\)）に関する仮説を検証する検定も、非常に広く応用されています。特に、世論調査、市場調査、製品の品質検査など、「はい/いいえ」で答えられるような質的データから結論を導き出す場面で活躍します。

6.1. 母比率の検定が利用される場面

政治: ある法案への賛成率は、50%を上回っていると言えるか（過半数の支持があるか）。
マーケティング: 新しい広告を打った後、ブランドの認知度は以前の20%から上昇したと言えるか。
品質管理: ある改善策を実施した後、製品の不良率は目標である3%以下になったと言えるか。
医療: 新しいワクチンの有効率（発症を防ぐ確率）は、90%以上であるという主張は正しいか。

これらの問題はすべて、標本データから得られる標本比率 \(\hat{p}\) を用いて、未知の母比率 \(p\) に関する仮説を検証するという構造を持っています。

6.2. 検定の手順（nが大きい場合）

母比率の検定では、標本の大きさ \(n\) が十分に大きい（目安として \(np_0 \ge 5\) かつ \(n(1-p_0) \ge 5\)）場合に、二項分布の正規近似を利用できます。これにより、検定統計量として標準正規分布に従う \(Z\) を用いることが可能になります。

検定統計量 Z

Z=frachatp−p_0sqrtfracp_0(1−p_0)n

ここで、

\(\hat{p}\): 標本比率 (\(X/n\))
\(p_0\): 帰無仮説における母比率の値
\(n\): 標本の大きさ

重要な注意点として、分母の標準偏差を計算する際には、標本比率 \(\hat{p}\) ではなく、あくまで帰無仮説で仮定されている比率 \(p_0\) を用います。これは、検定が「帰無仮説が正しい」という仮定のもとで確率計算を行う、という原則に基づいているためです。

6.3. 具体例（片側検定）

問題: あるオンラインストアの商品の転換率（サイト訪問者が商品を購入する確率）は、従来5%であった。サイトのデザインをリニューアルしたところ、新たに訪問した2000人のうち120人が商品を購入した。この結果から、新しいデザインは転換率を向上させたと言えるか。有意水準5%で検定しなさい。

Step 1：仮説の設定

転換率が向上したか（5%より高くなったか）を検証したいので、右片側検定。
帰無仮説 \(H_0\): \(p = 0.05\) （転換率は従来と変わらない）
対立仮説 \(H_1\): \(p > 0.05\) （転換率は向上した）

Step 2：有意水準の決定

問題の指定より、\(\alpha = 0.05\)。

Step 3：検定統計量の選択と計算

母比率の検定なので、\(Z\) 統計量を用いる。
標本データから、\(n=2000\), \(x=120\) なので、標本比率 \(\hat{p} = 120/2000 = 0.06\)。
\(H_0\) のもとで \(p_0 = 0.05\)。
正規近似の条件を確認：\(np_0 = 2000 \times 0.05 = 100 \ge 5\)、\(n(1-p_0) = 2000 \times 0.95 = 1900 \ge 5\)。条件を満たす。
検定統計量 \(Z\) の値を計算する。Z=frac0.06−0.05sqrtfrac0.05(1−0.05)2000=frac0.01sqrtfrac0.05times0.952000=frac0.01sqrtfrac0.04752000=frac0.01sqrt0.00002375approxfrac0.010.00487approx2.05

Step 4：棄却ルールの決定と判定

棄却域法:
- 右片側検定、有意水準 \(\alpha = 0.05\) なので、棄却域は \(Z \ge 1.645\)。
- 計算した検定統計量 \(Z \approx 2.05\) は、棄却域に含まれる。
p値法:
- 右片側検定なので、\(Z = 2.05\) よりも大きい値を取る確率を求める。
- \(p\)値 = \(P(Z \ge 2.05)\)
- 標準正規分布表より、\(P(Z \ge 2.05) = 0.5 – 0.4798 = 0.0202\)。
- このp値 (0.0202) は、有意水準 \(\alpha = 0.05\) よりも小さい (\(p < \alpha\))。

どちらの方法でも、判定は「帰無仮説を棄却する」となる。

Step 5：結論

有意水準5%で帰無仮説は棄却される。
したがって、新しいデザインは転換率を向上させたと統計的に有意に言える。

この結果に基づき、企業はサイトリニューアルが成功であったと判断し、新しいデザインを本格導入するという意思決定を下すことができます。

6.4. 具体例（両側検定）

問題: 全国調査では、高校生のスマートフォン所有率は90%であることが知られている。ある特定の地域で400人の高校生を調査したところ、350人がスマートフォンを所有していた。この地域のスマホ所有率は、全国平均と異なると言えるか。有意水準1%で検定しなさい。

Step 1：仮説の設定

全国平均と「異なる」かを検証したいので、両側検定。
帰無仮説 \(H_0\): \(p = 0.90\) （所有率は全国平均と同じ）
対立仮説 \(H_1\): \(p \neq 0.90\) （所有率は全国平均と異なる）

Step 2：有意水準の決定

問題の指定より、\(\alpha = 0.01\)。

Step 3：検定統計量の選択と計算

母比率の検定なので、\(Z\) 統計量を用いる。
標本データから、\(n=400\), \(x=350\) なので、標本比率 \(\hat{p} = 350/400 = 0.875\)。
\(H_0\) のもとで \(p_0 = 0.90\)。
正規近似の条件を確認：\(np_0 = 400 \times 0.90 = 360 \ge 5\)、\(n(1-p_0) = 400 \times 0.10 = 40 \ge 5\)。条件を満たす。
検定統計量 \(Z\) の値を計算する。Z=frac0.875−0.90sqrtfrac0.90(1−0.90)400=frac−0.025sqrtfrac0.09400=frac−0.0250.3/20=frac−0.0250.015approx−1.67

Step 4：棄却ルールの決定と判定

棄却域法:
- 両側検定、有意水準 \(\alpha = 0.01\) なので、棄却域は \(Z \le -z_{0.005} = -2.58\) または \(Z \ge 2.58\)。
- 計算した検定統計量 \(Z \approx -1.67\) は、棄却域に含まれない。

Step 5：結論

有意水準1%で帰無仮説は棄却できない。
したがって、この地域のスマホ所有率が全国平均と異なるとは言えない。

この地域の所有率87.5%は、全国の90%より低いですが、その差は有意水準1%という厳しい基準のもとでは、サンプリングによる偶然の誤差である可能性を否定できない、という結論になります。もし、有意水準を5%に設定していれば、棄却域は \(Z \le -1.96\) または \(Z \ge 1.96\) となり、やはり棄却できないという同じ結論になります。

7. 第1種の過誤と第2種の過誤

仮説検定は、データに基づいて合理的な判断を下すための強力なツールですが、その判断は確率に基づいているため、常に「間違う」リスクを伴います。刑事裁判で、無実の人に有罪判決を下してしまったり（冤罪）、真犯人を取り逃がしてしまったりする可能性があるのと同様に、統計的検定においても、判断の誤りが生じ得ます。この検定における誤りには、二つの異なる種類があり、それぞれ「第1種の過誤」と「第2種の過誤」と呼ばれます。

7.1. 検定における判断の4つの可能性

帰無仮説 \(H_0\) が、現実の世界で本当に「真（正しい）」なのか「偽（間違い）」なのか、そして、私たちがデータに基づいて下す判断が「\(H_0\) を棄却する」のか「\(H_0\) を棄却しない」のか、この二つの軸を組み合わせると、判断の結果は以下の4つのケースに分類されます。

	現実の世界
	\(H_0\) は真	\(H_0\) は偽
データによる判断	\(H_0\) を棄却しない	正しい判断<br>(Correct Decision)
	\(H_0\) を棄却する	第1種の過誤 (Type I Error)<br>確率 \(\alpha\)

この表が示すように、私たちの判断が現実と一致していれば「正しい判断」ですが、食い違ってしまうと「過誤（エラー）」となります。

7.2. 第1種の過誤 (Type I Error)：あわてものの誤り

第1種の過誤とは、**「帰無仮説 \(H_0\) が真であるにもかかわらず、それを棄却してしまう」**という誤りです。

これは、本来は何の違いもない（効果がない）のに、たまたま手元のデータが極端な値を示したために、「違いがある（効果がある）」と結論づけてしまう誤解です。

例:
- 本当は公正なコインなのに、たまたま10回中9回表が出たため、「このコインはイカサマだ」と結論づけてしまう。
- 本当は効果のない新薬なのに、たまたま被験者の体調が良かったため、「この薬には効果がある」と結論づけてしまう。

この第1種の過誤を犯す確率は、私たちが検定の最初に設定した有意水準 \(\alpha\) そのものです。

P(text第1種の過誤)=P(H_0textを棄却する∣H_0textは真)=alpha

有意水準を5% (\(\alpha=0.05\)) に設定するということは、「もし本当は差がなくても、100回のうち5回は『差がある』と誤って判断してしまうリスクを許容します」と宣言していることに他なりません。第1種の過誤は、その性質から「あわてものの誤り」や、生産者の製品が誤って不合格とされるリスクになぞらえて「生産者危険」と呼ばれることもあります。

7.3. 第2種の過誤 (Type II Error)：ぼんやりものの誤り

第2種の過誤とは、「帰無仮説 \(H_0\) が偽であるにもかかわらず、それを棄却しない」という誤りです。

これは、本当は違いがある（効果がある）のに、手元のデータではその違いを検出するのに十分な証拠が得られず、「違いがあるとは言えない」と結論づけてしまう、つまり違いや効果を見逃してしまう誤解です。

例:
- 本当は少しだけ表が出やすいイカサマコインなのに、たまたま10回投げたら表が5回、裏が5回と均等に出てしまったため、「このコインがイカサマだとは言えない」と結論づけ、不正を見逃してしまう。
- 本当は効果のある新薬なのに、被験者の数が少なすぎたために、その効果が統計的なノイズに埋もれてしまい、「この薬に効果があるとは言えない」と結論づけ、有望な新薬の開発を中止してしまう。

第2種の過誤を犯す確率は、通常、ギリシャ文字の **\(\beta\) （ベータ）**で表されます。

P(text第2種の過誤)=P(H_0textを棄却しない∣H_0textは偽)=beta

\(\beta\) の値は、\(\alpha\) のように事前に設定するものではなく、真の母数の値が帰無仮説の値からどれだけ離れているか（効果の大きさ）、標本の大きさ、そして \(\alpha\) の値など、複数の要因によって決まる複雑な値です。

第2種の過誤は、その性質から「ぼんやりものの誤り」や、消費者が不良品ロットを誤って受け入れてしまうリスクになぞらえて「消費者危険」と呼ばれることもあります。

7.4. αとβのトレードオフの関係

第1種の過誤（\(\alpha\)）と第2種の過誤（\(\beta\)）は、互いにトレードオフの関係にあります。つまり、一方のリスクを減らそうとすると、もう一方のリスクが増大してしまうのです。

この関係は、刑事裁判のアナロジーで考えると非常に分かりやすいです。

第1種の過誤（冤罪）のリスク \(\alpha\) を極端に小さくしようとする:「よほど確実な証拠がない限り、有罪にはしない」という方針を徹底すると、無実の人が有罪になる可能性は限りなく低くなります。しかし、その代償として、証拠が少しでも不十分な真犯人は、ことごとく無罪放免となってしまいます。つまり、第2種の過誤（犯人を取り逃がす）のリスク \(\beta\) が増大します。
第2種の過誤（犯人を取り逃がす）のリスク \(\beta\) を極端に小さくしようとする:「少しでも疑わしきは罰する」という方針を採れば、真犯人を取り逃がす可能性は低くなります。しかし、その代償として、状況証拠だけで無実の人が有罪にされてしまう可能性が高まります。つまり、第1種の過誤（冤罪）のリスク \(\alpha\) が増大します。

仮説検定における有意水準 \(\alpha\) の設定も、これと全く同じです。

有意水準 \(\alpha\) を厳しくする（例：5% → 1%）:\(H_0\) を棄却するためのハードルが高くなるため、あわてて間違える「第1種の過誤」のリスクは小さくなります。しかし、棄却域が狭くなるため、本当は違いがあってもそれを見逃してしまう「第2種の過誤」のリスク \(\beta\) は大きくなります。
有意水準 \(\alpha\) を緩くする（例：5% → 10%）:\(H_0\) を棄却しやすくなるため、違いを見逃す「第2種の過誤」のリスク \(\beta\) は小さくなります。しかし、その分、本当は違いがないのに「違いがある」と間違ってしまう「第1種の過誤」のリスク \(\alpha\) は大きくなります。

このように、\(\alpha\) と \(\beta\) はシーソーのような関係にあるため、どちらの誤りをより深刻と考えるかによって、有意水準 \(\alpha\) の設定は変わってきます。

例えば、新薬の副作用を検定する場合、「本当は危険な副作用があるのに、それを見逃してしまう（第2種の過誤）」ことは非常に深刻です。一方、既存の薬を置き換えるほどの効果があるかを検定する場合、「本当は効果がないのに、あると誤解してしまう（第1種の過誤）」と、無駄な投資につながるため、こちらが深刻と見なされるかもしれません。

検定を行う者は、この二つのリスクのバランスを常に意識し、その問題の文脈において、どちらの誤りを避けることがより重要かを考慮した上で、判断基準（有意水準）を設定する必要があるのです。

8. 検出力

前のセクションでは、仮説検定における二つの誤り、特に「本当は存在する効果や差を見逃してしまう」第2種の過誤（確率 \(\beta\)）について学びました。この第2種の過誤を避ける能力、すなわち、検定が真の違いを正しく検出する能力のことを「検出力」と呼びます。信頼性の高い科学研究や効果的なビジネス上の意思決定を行うためには、この検出力を十分に確保することが極めて重要になります。

8.1. 検出力 (Statistical Power) の定義

検出力とは、**「帰無仮説 \(H_0\) が偽であるときに、正しく \(H_0\) を棄却する確率」**のことです。これは、第2種の過誤を犯す確率 \(\beta\) の逆の事象の確率に相当します。

text検出力=P(H_0textを棄却する∣H_0textは偽)=1−beta

検出力が高い（例：0.9）:これは、もし本当に効果や差が存在するならば、そのことを90%の高い確率で、データから正しく見つけ出すことができる検定であることを意味します。これは「感度の高い」検査と言えます。
検出力が低い（例：0.3）:これは、たとえ本当に効果や差が存在したとしても、そのことを30%の確率でしか見つけ出せず、残りの70%は見逃してしまう（第2種の過誤を犯す）ことを意味します。これは「感度の低い」検査であり、その検定結果の信頼性は低いと言わざるを得ません。

特に、検定の結果が「有意差なし（\(H_0\) を棄却できない）」であった場合、その解釈には検出力の考慮が不可欠です。もし検出力が非常に低い実験で「有意差なし」という結果が出ても、それは「本当に差がない」からなのか、それとも「差はあるが、実験の検出力が低すぎて見つけられなかっただけ」なのかを区別できません。したがって、意味のある「有意差なし」という結論を得るためには、その実験の検出力が十分に高かったことを示す必要があります。

8.2. 検出力を視覚的に理解する

検出力の概念は、二つの確率分布のグラフを重ね合わせることで、視覚的に理解することができます。

ここでは、母平均の右片側検定（\(H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu > \mu_0\)）を例に考えます。

帰無仮説のもとでの分布:まず、帰無仮説 \(H_0\) が真である、つまり真の母平均が \(\mu_0\) である場合の、標本平均 \(\bar{X}\) の分布を描きます。これは、\(\mu_0\) を中心とする正規分布になります。この分布において、棄却域は右側の端に面積 \(\alpha\) で設定されます。
対立仮説のもとでの分布:次に、対立仮説 \(H_1\) が真である場合の標本平均の分布を描きます。このとき、真の母平均は \(\mu_0\) ではなく、それより大きいある値 \(\mu_1\) になります。したがって、この分布は \(\mu_1\) を中心とする正規分布となり、\(H_0\) の分布よりも右にずれた位置に描かれます。

この二つの分布を重ね合わせたとき、検出力とは、**「対立仮説の分布（右側の山の分布）のうち、帰無仮説の棄却域に含まれている部分の面積」として定義されます。

この面積が \(1-\beta\) となります。

一方、第2種の過誤の確率 \(\beta\) は、「対立仮説の分布のうち、帰無仮説の採択域に含まれている部分の面積」**となります。

このグラフから、検出力 \(1-\beta\) の大きさが何によって決まるのかを直感的に読み取ることができます。

8.3. 検出力に影響を与える要因

検出力の大きさは、主に以下の4つの要因によって決まります。

効果量 (Effect Size):これは、帰無仮説で想定されている状態と、実際の状態との「差の大きさ」を意味します。（例：\(\mu_1 – \mu_0\) の大きさ）。
- 効果量が大きい場合: \(H_0\) の分布と \(H_1\) の分布が大きく離れているため、重なりが小さくなります。その結果、棄却域に含まれる \(H_1\) の分布の面積が大きくなり、検出力は高くなります。直感的には、大きな違いは検出しやすい、ということです。
- 効果量が小さい場合: 二つの分布が近接しているため、重なりが大きくなります。その結果、検出力は低くなります。小さな違いを検出するのは難しいのです。
標本の大きさ (\(n\)):これは、調査者がコントロールできる最も重要な要因です。
- 標本が大きい場合: 中心極限定理により、標本平均の分布のばらつき（標準誤差 \(\sigma/\sqrt{n}\)）が小さくなります。これにより、分布の山の形がより鋭く、裾が狭くなります。その結果、二つの分布の重なりが減少し、検出力は高くなります。多くのデータを集めるほど、小さな差でもノイズから浮かび上がらせて検出することが可能になります。
- 標本が小さい場合: 分布の山がなだらかで裾が広くなるため、重なりが大きくなり、検出力は低くなります。
有意水準 (\(\alpha\)):
- \(\alpha\) を大きくする（例：1% → 5%）: 棄却域が広がるため、\(H_1\) の分布が棄却域にかかる面積が大きくなります。その結果、検出力は高くなります。ただし、これは第1種の過誤のリスクを高めることと引き換えです。
- \(\alpha\) を小さくする（例：5% → 1%）: 棄却域が狭くなるため、検出力は低くなります。
データのばらつき (\(\sigma\)):
- ばらつきが小さい場合: 標本平均の分布の標準誤差 \(\sigma/\sqrt{n}\) が小さくなるため、分布の山が鋭くなります。結果として、検出力は高くなります。測定精度が高い実験や、均質な集団を対象とした調査では、効果を検出しやすくなります。
- ばらつきが大きい場合: 分布がなだらかになり、検出力は低くなります。

8.4. なぜ検出力が重要か：検定の事前設計

検出力の概念は、単に検定結果を解釈するためだけのものではありません。より重要なのは、実験や調査を計画する段階で、検出力を考慮に入れることです。これを検出力分析 (Power Analysis) と呼びます。

例えば、ある新薬の効果を検証する臨床試験を計画しているとします。

まず、臨床的に意味のある最小の効果量（例：血圧を最低5mmHg下げる効果）を専門的知見から設定します。
次に、第1種の過誤のリスク（有意水準 \(\alpha\)）と、許容できる第2種の過誤のリスク（\(\beta\)）、すなわち目標とする検出力（\(1-\beta\)、慣習的に0.8以上が望ましいとされる）を設定します。
これらの値（効果量、\(\alpha\)、目標検出力）と、過去のデータから推定されるデータのばらつき（\(\sigma\)）を専用の計算式やソフトウェアに入力することで、**「目標とする検出力を達成するために、最低限必要な標本の大きさ \(n\) は何人か」**を事前に計算することができます。

このように、検出力分析を行うことで、不必要に多くの被験者を危険に晒したり、コストをかけすぎたりすることを防ぐと同時に、サンプルサイズが小さすぎて意味のある結論が何も得られない、といった非倫理的・非効率的な研究を避けることができます。

結論として、検出力は仮説検定の「質」を保証するための重要な指標です。それは、私たちの立てた仮説が、データという現実の光に照らして、本当に意味のある「違い」を捉えることができるのか、その能力そのものを示しているのです。

9. 適合度検定・独立性検定（紹介）

これまで学んできた仮説検定は、主に母平均や母比率といった一つのパラメータが、特定の基準値と異なるかどうかを検証するものでした。しかし、世の中にはもっと複雑な問いが存在します。例えば、「観測されたデータ全体のパターンが、理論的に予測されるパターンと一致しているか？」「アンケートで得られた二つの質問項目（例えば、性別と支持政党）は、互いに関連しているのか？」といった問いです。

このような、カテゴリカルデータ（いくつかのカテゴリーに分類されるデータ）のパターンを分析するために用いられるのが、カイ二乗（\(\chi^2\)）分布を利用した検定であり、その代表が「適合度検定」と「独立性検定」です。これらは高校数学の範囲を少し超えますが、仮説検定の応用範囲の広さを知る上で非常に有益なトピックです。

9.1. カイ二乗検定の基本アイデア

カイ二乗検定の根底にあるのは、**「観測された度数（Observed Frequency）」と、「ある仮説のもとで期待される度数（Expected Frequency）」**の間の「ズレ」を評価するというアイデアです。

もし、観測された度数が、期待される度数とほぼ同じであれば、ズレは小さく、仮説はもっともらしいと考えられます。逆に、観測度数が期待度数から大きくかけ離れていれば、ズレは大きく、その仮説は疑わしいと判断されます。

この「ズレ」の大きさを測るための指標として、以下の**カイ二乗統計量（\(\chi^2\)値）**が用いられます。

chi2=sum_text全てのカテゴリfrac(text観測度数−text期待度数)2text期待度数

この式は、各カテゴリについて「（観測値と期待値の差）の2乗」を「期待値」で割ったものを、すべてのカテゴリにわたって合計したものです。

観測度数と期待度数が完全に一致すれば、\(\chi^2\)値は0になります。
両者のズレが大きくなるほど、\(\chi^2\)値は大きな正の値をとります。

そして、この\(\chi^2\)統計量が、自由度と呼ばれるパラメータを持つカイ二乗分布に（近似的に）従うことを利用して、観測された\(\chi^2\)値が偶然の範囲を超えて大きいかどうかを検定します。ズレが十分に大きければ（\(\chi^2\)値が棄却域に入れば）、仮説を棄却するという論理です。

9.2. 適合度検定 (Goodness-of-Fit Test)

適合度検定は、**「観測された度数分布が、理論的に想定される特定の確率分布に適合しているか」**を検証するための手法です。

問いの例:
- サイコロを60回振った結果は、それぞれの目が等確率（1/6）で出るという理論と一致しているか（サイコロは公正か）？
- ある交差点の曜日別交通事故件数は、すべての曜日で均等に発生していると言えるか？
- メンデルの遺伝の法則によれば、ある植物の表現型がA:B:C:D = 9:3:3:1の比率で現れるはずだが、実際の観察結果はこの比率と一致しているか？

検定の手順（サイコロの例）:

サイコロを60回振ったところ、以下の観測度数が得られたとします。

| 目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |

| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |

| 観測度数 | 8 | 13 | 7 | 11 | 9 | 12 | 60 |

仮説の設定:
- \(H_0\): 観測された分布は、一様分布（各目の出る確率が1/6）に適合する。（サイコロは公正）
- \(H_1\): 観測された分布は、一様分布に適合しない。（サイコロは公正でない）
期待度数の計算:\(H_0\) が正しければ、各目は \(60 \times (1/6) = 10\) 回ずつ出ることが期待されます。| 目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 || :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— || 期待度数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 60 |
\(\chi^2\)統計量の計算:chi2=frac(8−10)210+frac(13−10)210+frac(7−10)210+frac(11−10)210+frac(9−10)210+frac(12−10)210=frac410+frac910+frac910+frac110+frac110+frac410=frac2810=2.8
判定:この場合の自由度は「カテゴリ数 – 1 = 6 – 1 = 5」です。自由度5のカイ二乗分布表を見ると、有意水準5%の棄却値は11.07です。計算された \(\chi^2=2.8\) は、11.07よりも小さいため、棄却域に入りません。
結論:帰無仮説は棄却されません。したがって、「このサイコロが公正でないとは言えない」という結論になります。観測された出目のばらつきは、偶然の範囲内である可能性が高いと判断されます。

9.3. 独立性検定 (Test of Independence)

独立性検定は、**「二つのカテゴリカル変数（質的変数）が、互いに独立である（関連がない）か、それとも従属している（関連がある）か」**を検証するための手法です。データは通常、**クロス集計表（分割表）**の形で整理されます。

問いの例:
- 性別と、好きなテレビ番組のジャンル（ドラマ、スポーツ、ニュースなど）の間に関連はあるか？
- 血液型と性格の間に関連はあるか？
- 喫煙習慣の有無と、特定の病気の罹患率の間に関連はあるか？

検定の手順（架空のデータ例）:

ある新商品の購入意向を、男女200人に調査した結果が以下の通りであったとします。

| :— | :— | :— | :— |

| 男性 | 40 | 60 | 100 |

| 女性 | 60 | 40 | 100 |

| 合計 | 100 | 100 | 200 |

仮説の設定:
- \(H_0\): 性別と購入意向は独立である。（性別によって購入意向に差はない）
- \(H_1\): 性別と購入意向は独立ではない。（性別によって購入意向に差がある）
期待度数の計算:\(H_0\) が正しい（独立である）と仮定した場合、各セルの期待度数は「(その行の合計 × その列の合計) / 全体合計」で計算されます。
- 男性・購入したい: \((100 \times 100) / 200 = 50\)
- 男性・購入したくない: \((100 \times 100) / 200 = 50\)
- 女性・購入したい: \((100 \times 100) / 200 = 50\)
- 女性・購入したくない: \((100 \times 100) / 200 = 50\)もし性別と購入意向が全く無関係なら、各セルは50人ずつになることが期待されるわけです。
\(\chi^2\)統計量の計算:chi2=frac(40−50)250+frac(60−50)250+frac(60−50)250+frac(40−50)250=frac10050+frac10050+frac10050+frac10050=2+2+2+2=8.0
判定:この場合の自由度は「(行数 – 1) × (列数 – 1) = (2 – 1) × (2 – 1) = 1」です。自由度1のカイ二乗分布表を見ると、有意水準5%の棄却値は3.84です。計算された \(\chi^2=8.0\) は、3.84よりも大きいため、棄却域に入ります。
結論:帰無仮説は棄却されます。したがって、「性別と購入意向の間には統計的に有意な関連がある」という結論になります。クロス集計表を詳しく見ると、男性は購入に消極的、女性は積極的という傾向が読み取れ、この差が偶然とは考えにくいことを検定は示しています。

これらカイ二乗検定は、応用範囲が非常に広く、アンケート結果の分析などでは頻繁に用いられます。その根底にある「期待値からのズレを評価する」という考え方は、より複雑な統計モデルへと繋がる重要な橋渡しとなる概念です。

10. 統計的な意思決定

本モジュールで学んできた仮説検定は、単に数値を計算し、数式を適用するだけの機械的な作業ではありません。その本質は、不確実性を伴う現実世界において、データという客観的な証拠に基づいて、より合理的な「意思決定」を行うための思考の枠組みそのものです。科学的研究、ビジネス戦略、政策立案など、現代社会のあらゆる場面で、この統計的な意思決定のプロセスが活用されています。

10.1. 仮説検定と科学的方法

科学の進歩は、仮説を立て、実験や観察によってそれを検証するというサイクルの繰り返しによって成り立っています。仮説検定は、この「検証」のプロセスに、客観性と再現性を与えるための強力なツールです。

ある科学者が「新しい化合物Aは、特定の癌細胞の増殖を抑制する効果があるのではないか」という仮説を立てたとします。

\(H_0\): 化合物Aには効果がない。
\(H_1\): 化合物Aには効果がある。このとき、実験データが単なる偶然のばらつきを超えて、\(H_0\)を棄却するに足るものであることを示す（＝統計的に有意な結果を得る）ことが、仮説が科学的に支持されるための第一関門となります。p値は、世界中の科学者が共通の基準で実験結果の「証拠の強さ」を評価するための、いわば「世界共通言語」の役割を果たしているのです。

10.2. ビジネスにおける意思決定（A/Bテスト）

現代のウェブマーケティングや製品開発では、A/Bテストと呼ばれる手法が広く用いられています。これは、二つの異なるバージョン（AとB）を用意し、どちらがより高い成果（例：クリック率、購入率など）を出すかを比較する実験です。

例えば、ウェブサイトのボタンの色を「緑（A案）」にするか「青（B案）」にするかで迷っているとします。

\(H_0\): ボタンの色によるクリック率に差はない (\(p_A = p_B\))。
\(H_1\): ボタンの色によるクリック率に差がある (\(p_A \neq p_B\))。実際にサイト訪問者をランダムに二つのグループに分け、それぞれのボタンを表示してクリック率を測定します。その結果を仮説検定にかけることで、「観測されたクリック率の差が、単なる偶然なのか、それともボタンの色という本質的な違いによるものなのか」を客観的に判断できます。「青いボタンの方が、統計的に有意にクリック率が高い」という結論が得られれば、自信を持って青いボタンを採用するという意思決定を下すことができるのです。

10.3. 統計的有意性と実質的有意性

仮説検定の結果を解釈する上で、非常に重要な注意点があります。それは、「統計的に有意である」ことと、「実質的に（あるいは実用上）意味がある」ことは、必ずしも同義ではないという点です。

例えば、非常に大規模な標本（例えば100万人）を用いて、あるダイエット薬の効果を検証したとします。その結果、「この薬を服用したグループは、しなかったグループに比べて、平均体重が0.1kg統計的に有意に減少した（p < 0.01）」という結論が得られたかもしれません。

これは、数学的には「体重差がゼロである」という帰無仮説を棄却するに足る、極めて強力な証拠です。しかし、実用的な観点から見て、「平均0.1kgの体重減少」に、ダイエット薬としての価値があると言えるでしょうか。おそらく、ほとんどの人は「意味がない」と判断するでしょう。

このように、標本の大きさが巨大になると、どんなに些細で実用上は無視できるような小さな差でも、統計的に有意な結果として検出されてしまうことがあります。したがって、私たちは検定の結果を見る際に、

p値: その差が偶然ではないと言えるか（統計的有意性）
効果量: その差の大きさは、実質的に意味のある大きさか（実質的有意性）という二つの側面を、常に両輪で評価する必要があります。統計はあくまで判断の材料を提供するものであり、最終的な意思決定は、その分野の専門的知識や文脈を考慮して人間が下すべきものなのです。

10.4. 統計的思考の重要性

仮説検定の学習を通じて私たちが身につけるべき最も大切なことは、個々の計算テクニック以上に、その背後にある**統計的思考（Statistical Thinking）**です。

ばらつきの認識: あらゆるデータには、偶然によるばらつきが内在することを常に認識する。
証拠に基づく判断: 個人的な経験や直感だけでなく、客観的なデータに基づいて主張の妥当性を評価する姿勢。
誤りの可能性の許容: どんな結論も絶対ではなく、ある確率で間違う可能性があることを理解し、そのリスクを管理しようとする態度。

これらの思考法は、大学での研究活動はもちろんのこと、将来どのような職業に就いたとしても、複雑な問題に対して冷静かつ合理的な判断を下していくための、生涯にわたる知的基盤となるでしょう。仮説検定は、そのための具体的な作法を私たちに教えてくれる、強力な指南役なのです。

Module 8：統計的な推測(4) 仮説検定の総括：データとの対話による意思決定の作法

本モジュールでは、統計的推測のもう一つの柱である「仮説検定」の世界を探求しました。これは、単なる計算手順の学習に留まらず、データという客観的な証拠を基に、ある主張の真偽をいかにして論理的に判断するかという、一種の「知的な作法」を学ぶ旅でした。

私たちはまず、その根底にあるのが数学の背理法に似た**「確率的な背理法」**であることを見ました。「常識的な立場（帰無仮説）」をいったん仮定し、その仮定のもとでは極めて起こりにくい事象が観測されたことを根拠に、その仮定の妥当性を問い、間接的に本来主張したいこと（対立仮説）の正しさを論証する、というエレガントな論理構造を理解しました。

次に、検定という名の舞台を構成する重要な登場人物たち――棄却されるために存在する帰無仮説、証明したい主張である対立仮説、判断の客観的な基準となる有意水準、そして結果の珍しさを確率で示すp値――の役割を一つずつ明らかにしました。そして、これらを統合した仮説検定の5ステップという標準的な手続きを習得し、母平均や母比率といった具体的な問題に適用する技術を身につけました。

さらに、統計的な判断が常に内包する二種類のリスク、すなわち「あわてものの誤り」である第1種の過誤と、「ぼんやりものの誤り」である第2種の過誤について学び、両者がトレードオフの関係にあることを理解しました。そして、検定が真の違いを正しく見つけ出す能力である検出力の重要性に触れ、信頼性の高い結論を導くための検定設計の考え方にも足を踏み入れました。

仮説検定は、私たちに、曖昧な印象論や主観的な思い込みから脱却し、データと真摯に対話するための共通言語を与えてくれます。それは、科学の進歩を支え、ビジネスの戦略を方向づけ、社会の政策を評価するための、現代社会に不可欠な羅針盤です。このモジュールで学んだ思考の枠組みは、皆さんがこれから直面するであろう無数の問いに対して、より深く、より客観的な洞察をもって応えるための、揺るぎない力となるはずです。

【基礎 数学(数学B)】Module 8：統計的な推測(4) 仮説検定

1. 仮説検定の考え方

1.1. 日常的な推論からの出発

1.2. 論理構造：背理法との類似性

1.3. 統計的判断の本質：「確率的な背理法」

2. 帰無仮説と対立仮説

2.1. 帰無仮説 (Null Hypothesis, \(H_0\))：棄却されるために立てる仮説

2.2. 対立仮説 (Alternative Hypothesis, \(H_1\) or \(H_A\))：証明したい主張

2.3. 仮説の設定例

2.4. 両側検定と片側検定

3. 有意水準と棄却域

3.1. 検定における判断基準の必要性

3.2. 有意水準 (Significance Level, \(\alpha\))：判断の「ものさし」

3.3. 棄却域 (Rejection Region)：帰無仮説を棄却するデータの範囲

3.4. p値 (p-value)：結果の「珍しさ」を表す確率

4. 仮説検定の手順

4.1. 仮説検定の5ステップ

4.2. フローチャートで見る手順

4.3. 具体例を通した手順の確認

5. 母平均の検定

5.1. 母平均の検定が利用される場面

5.2. 検定の手順（母分散既知、またはnが大きい場合）

5.3. 具体例（両側検定）

5.4. 具体例（片側検定）

5.5. t検定について（発展）

6. 母比率の検定

6.1. 母比率の検定が利用される場面

6.2. 検定の手順（nが大きい場合）

6.3. 具体例（片側検定）

6.4. 具体例（両側検定）

7. 第1種の過誤と第2種の過誤

7.1. 検定における判断の4つの可能性

7.2. 第1種の過誤 (Type I Error)：あわてものの誤り

7.3. 第2種の過誤 (Type II Error)：ぼんやりものの誤り

7.4. αとβのトレードオフの関係

8. 検出力

8.1. 検出力 (Statistical Power) の定義

8.2. 検出力を視覚的に理解する

8.3. 検出力に影響を与える要因

8.4. なぜ検出力が重要か：検定の事前設計

9. 適合度検定・独立性検定（紹介）

9.1. カイ二乗検定の基本アイデア

9.2. 適合度検定 (Goodness-of-Fit Test)

9.3. 独立性検定 (Test of Independence)

10. 統計的な意思決定

10.1. 仮説検定と科学的方法

10.2. ビジネスにおける意思決定（A/Bテスト）

10.3. 統計的有意性と実質的有意性

10.4. 統計的思考の重要性

Module 8：統計的な推測(4) 仮説検定の総括：データとの対話による意思決定の作法

【基礎数学(数学B)】Module 8：統計的な推測(4) 仮説検定