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【基礎 数学(数学Ⅱ)】Module 1：式と証明

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本モジュールの目的と構成

数学という広大な知の体系を旅するにあたり、我々はまずその世界で使われる「言語」を習得し、思考を組み立てるための「文法」を学ばねばなりません。本モジュール「式と証明」は、まさにその根幹をなすものです。ここで学ぶ内容は、単なる計算技術の寄せ集めではありません。それは、数学的対象を記号で表現し、論理の法則に従ってそれらを正確に操作するための普遍的な方法論の探求です。

このモジュールを終えるとき、あなたは単に問題を解くスキルを身につけるだけでなく、複雑な事象を抽象化し、その本質を捉え、厳密な論理によって真実を導き出すという、学問のあらゆる分野に通底する知的営為の基礎を築いているはずです。これから続く「複素数と方程式」「図形と方程式」「微分法」「積分法」といった数学IIの主要テーマは、すべてこのモジュールで培われる代数的操作能力と論理的思考力という土台の上に築かれます。一つ一つの定理や公式が、後続の学習においてどのように有機的に結びつき、より高度な概念を構築していくのかを意識しながら、この知的な冒険を始めていきましょう。

本モジュールは、以下の論理的な順序で構成されています。

  1. 3次式の乗法公式と因数分解: まず、整式という代数の基本的な構成要素を扱うための語彙を増やします。特に3次式に焦点を当て、その展開と分解の技術を習得します。これは、より複雑な式を扱う上での基礎体力となります。
  2. 二項定理と多項定理: 次に、整式の展開をより一般的に、そして体系的に捉えるための強力な道具である二項定理を学びます。これは単なる公式ではなく、組み合わせの考え方と代数が融合した美しい理論です。
  3. 整式の除法と剰余の定理、因数定理: 整式の「割り算」という概念を導入し、そこから導かれる剰余の定理と因数定理を探求します。これらは、後の高次方程式の解法において中心的な役割を果たす、極めて重要な鍵となります。
  4. 分数式の計算: 扱う対象を整数から分数へと拡張したように、整式から分数式へと数の世界を広げます。ここでは、数と同様の四則演算のルールが、より抽象的な世界でも成り立つことを確認します。
  5. 恒等式（数値代入法、係数比較法）: 「方程式」と似て非なる「恒等式」という重要な概念を確立します。ある特定の条件下でのみ成り立つ等式と、常に成り立つ等式の違いを理解することは、数学的言説の正確性を担保する上で不可欠です。
  6. 等式の証明: ここからモジュールの後半は、「証明」という数学の核心へと入ります。与えられた条件の下で、ある等式が真であることを論理的に示すための基本的な作法と戦略を学びます。
  7. 不等式の証明（相加平均・相乗平均の関係）: 次に、等号だけでなく大小関係を論じる不等式の証明へと進みます。特に、相加平均と相乗平均の関係は、その後の最大・最小問題などに応用が広がる、強力かつ美しい定理です。
  8. 絶対値を含む不等式の証明: 絶対値という概念がもたらす複雑さに対応するための証明技術を磨きます。これは、場合分けや2乗を利用した同値変形など、論理的な思考の訓練として極めて有益です。
  9. コーシー・シュワルツの不等式: 不等式証明の世界における最も強力な武器の一つを手にします。この不等式の持つ意味を多角的に理解することで、一見複雑に見える問題の背後にあるシンプルな構造を見抜く力が養われます。
  10. 比例式とその応用: 最後に、比に関する等式である比例式を扱い、それが持つ対称性や斉次性を利用した巧みな計算手法を学びます。これは、複数の変数を効率的に処理するための洗練された技術です。

この一連の学習を通じて、あなたは単なる知識の断片ではなく、数学の世界を自由に探求するための「方法論」そのものを獲得することになるでしょう。

目次

1. 3次式の乗法公式と因数分解

数学の学習は、言語の習得に似ています。基本的な単語や文法を知らなければ、複雑な文章を読んだり書いたりすることができないように、数学においても基本的な式の展開や分解ができなければ、より高度な理論を理解することは困難です。中学数学で学んだ2次式の乗法公式と因数分解は、いわば基本的な文法でした。このセクションでは、その世界を3次式へと拡張し、より表現力豊かな数学の言語を身につけていきます。

3次式の公式は、単に覚えるべき対象ではありません。それらは2次式の場合の自然な拡張であり、その構造を理解することで、未知の多項式に出会ったときにもその本質を見抜く洞察力を養うことができます。展開は複雑なものをより単純な項の和に分解するプロセスであり、因数分解はその逆、つまり単純な項の和からその構成要素（因数）の積へと再構築するプロセスです。この二つの操作は表裏一体の関係にあり、自在に行き来できる能力は、今後の代数学のあらゆる場面であなたの思考を支える基盤となります。

1.1. 乗法公式：展開の技術

乗法公式は、多項式の積を効率的に計算するための規則です。基本は分配法則\( a(b+c) = ab + ac \)にありますが、頻繁に現れるパターンを公式として整理しておくことで、思考の経済化を図ることができます。

1.1.1. \((a+b)^3\) と \((a-b)^3\) の展開

2次式の展開 \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) は、\((a+b)(a+b)\) を分配法則に従って計算した結果です。同様に、3次式の展開も定義に従って計算することで導出できます。

\((a+b)^3\) は \((a+b)(a+b)(a+b)\) という積を表します。これを段階的に計算してみましょう。

まず、\((a+b)^2\) の結果を利用します。

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)

次に、\((a^2+2ab+b^2)\) を一つの塊と見て、\(a\) と \(b\) に分配します。

=(a2+2ab+b2)a+(a2+2ab+b2)b

=(a3+2a2b+ab2)+(a2b+2ab2+b3)

最後に、同類項をまとめます。\(2a^2b\) と \(a^2b\) を合わせて \(3a^2b\) に、\(ab^2\) と \(2ab^2\) を合わせて \(3ab^2\) になります。

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

この公式は、単に結果を暗記するだけでなく、その構造を理解することが重要です。各項（\(a^3, 3a^2b, 3ab^2, b^3\)）は、\(a\) と \(b\) を合計3回掛け合わせたものになっています。例えば、\(3a^2b\) という項は、3つの \((a+b)\) のうち、2つから \(a\) を、1つから \(b\) を選んで掛け合わせる方法が何通りあるかを示しています。これは後の「二項定理」で学ぶ組み合わせの考え方 \(_3C_1 = 3\) 通りに対応しており、係数 1, 3, 3, 1はパスカルの三角形の3段目に現れる数列そのものです。

次に、\((a-b)^3\) の展開を考えます。これは、上の公式の \(b\) を \(-b\) で置き換えることで機械的に導出できます。

(a−b)3=(a+(−b))3

=a3+3a2(−b)+3a(−b)2+(−b)3

ここで、\((-b)^2 = b^2\) であり、\((-b)^3 = -b^3\) であることに注意すると、

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3

となります。\(b\) の奇数乗の項の符号がマイナスになる、と覚えるとよいでしょう。

【ミニケーススタディ：符号の罠】

受験生A君は、\((x-2y)^3\) の展開を試みました。彼は公式を思い出しながら、\(a=x, b=2y\) と考え、\(a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\) に代入しました。

\(x^3 – 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 – (2y)^3\)

計算を進めて、

\(x^3 – 6x^2y + 3x(4y^2) – 8y^3\)

\(= x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3\)

と正しく計算できました。しかし、彼の友人B君は、最後の項を \(-(2y)^3\) ではなく \(-2y^3\) と勘違いし、\(x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 2y^3\) という誤った答えを出してしまいました。多項式を代入する際は、それを一つの塊として括弧でくくり、符号や指数が全体にかかることを意識することが、このようなケアレスミスを防ぐ鍵となります。

1.1.2. \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) の展開

この公式は、一見複雑に見えますが、3乗の和の因数分解公式の逆の操作にあたります。これも分配法則に従って地道に展開してみましょう。

(a+b)(a2−ab+b2)=a(a2−ab+b2)+b(a2−ab+b2)

=(a3−a2b+ab2)+(a2b−ab2+b3)

ここで、\(-a^2b\) と \(+a^2b\) が打ち消し合い、\(+ab^2\) と \(-ab^2\) も打ち消し合います。その結果、非常にシンプルな形が残ります。

(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3

同様に、\((a-b)(a^2+ab+b^2)\) を展開すると、

(a−b)(a2+ab+b2)=a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)

=(a3+a2b+ab2)−(a2b+ab2+b3)

=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3

ここでも中間の項がすべて打ち消し合い、

(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3

となります。これらの公式は、因数分解の際に特に重要となるため、両方向から理解しておくことが不可欠です。

1.2. 因数分解：構造を見抜く技術

因数分解は、与えられた多項式を、それ以上分解できない多項式（既約多項式）の積の形に変形する操作です。これは、方程式の解を求める際の基本的な考え方（\(AB=0 \Leftrightarrow A=0 \text{ または } B=0\)）に直結する重要な技術です。

1.2.1. \(a^3+b^3\) と \(a^3-b^3\) の因数分解

これらの公式は、先ほど確認した乗法公式を逆に見たものです。

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

【覚え方のポイント】

  • 最初の因数の符号（\(a+b\) or \(a-b\)）は、元の式の符号（\(a^3+b^3\) or \(a^3-b^3\)）と一致します。
  • 二番目の因数（\(a^2 \mp ab + b^2\)）の中央の項の符号は、最初の因数の符号と逆になります。
  • 二番目の因数の \(ab\) の係数は \(1\) であり、\((a \pm b)^2\) の展開に出てくる \(2ab\) とは異なる点に注意が必要です。この \(a^2-ab+b^2\) や \(a^2+ab+b^2\) といった式は、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

具体例：\(x^3+8\) の因数分解

この式を \(a^3+b^3\) の形と見なします。\(8 = 2^3\) なので、\(a=x, b=2\) と対応させることができます。

公式 \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) に代入すると、

x3+8=x3+23=(x+2)(x2−xcdot2+22)

=(x+2)(x2−2x+4)

と因数分解できます。

1.2.2. \(a^3+b^3+c^3-3abc\) の因数分解

これは3次式の因数分解の中でも特に重要で、応用範囲の広い公式です。

a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

【公式の導出（思考の深化）】

この公式を丸暗記するだけでなく、一度は自力で導出を試みることで、式の構造に対する理解が深まります。ここでは、\(a^3+b^3\) を先に変形する方針で進めます。

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

まず、\(a^3+b^3\) を \((a+b)^3 – 3ab(a+b)\) と変形します（これは \((a+b)^3\) の展開公式から導かれます）。

=(a+b)3−3ab(a+b)+c3−3abc

次に、項の順序を入れ替えて、\((a+b)^3\) と \(c^3\) をペアにします。

=(a+b)3+c3−3ab(a+b)+3abc

第一の括弧 \({\cdots}\) は、\(X^3+Y^3\) の形（\(X=a+b, Y=c\)）をしているので、因数分解公式を適用できます。

(a+b)3+c3=(a+b)+c(a+b)2−(a+b)c+c2

=(a+b+c)(a2+2ab+b2−ac−bc+c2)

第二の括弧 \({\cdots}\) は、共通因数 \(-3ab\) でくくることができます。

−3ab(a+b)+3abc=−3ab(a+b+c)

これで、元の式は二つの大きな項に分かれ、両方に共通因数 \((a+b+c)\) が現れました。

(a+b+c)(a2+2ab+b2−ac−bc+c2)−3ab(a+b+c)

共通因数 \((a+b+c)\) で全体をくくります。

=(a+b+c)(a2+2ab+b2−ac−bc+c2)−3ab

最後に、中括弧の中を整理します。\(2ab-3ab = -ab\) となります。

=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

このように、複雑な公式も、より基本的な公式の組み合わせで導出できることを理解することは、数学的な思考力を鍛える上で非常に重要です。

1.2.3. 公式の応用と発展

この公式は、条件付き等式の証明問題などで威力を発揮します。

例えば、「\(a+b+c=0\) のとき、\(a^3+b^3+c^3=3abc\) が成り立つことを示せ」という問題は、この公式を知っていれば明らかです。

\(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) において、条件より \(a+b+c=0\) なので、右辺は \(0 \times (\cdots) = 0\) となります。

よって、\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) となり、\(3abc\) を移項すれば、\(a^3+b^3+c^3=3abc\) が示されます。

また、公式の第二因数 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) は、それ自体が重要な式変形を含んでいます。

a2+b2+c2−ab−bc−ca=frac12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)

=frac12(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)

=frac12(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2

この変形は、不等式の証明などで頻繁に用いられます。\(a,b,c\) が実数であるとき、\((a-b)^2 \ge 0, (b-c)^2 \ge 0, (c-a)^2 \ge 0\) なので、この式の値は常に0以上であることがわかります。等号が成立するのは、\(a-b=0, b-c=0, c-a=0\) がすべて成り立つとき、すなわち \(a=b=c\) のときです。

このことから、「\(a^3+b^3+c^3=3abc\) が成り立つならば、\(a+b+c=0\) または \(a=b=c\) である」という重要な命題が導かれます。これは、高次方程式の整数解問題や、図形の性質を証明する問題などで応用されることがあります。

1.3. まとめ：式の操作における視点

このセクションでは、3次式の基本的な乗法公式と因数分解を学びました。これらの公式は単なる計算ルールではなく、多項式の構造を明らかにするためのレンズのようなものです。

  • 展開は、積の構造を和の構造へと翻訳する作業です。
  • 因数分解は、和の構造の背後にある積の構造を暴き出す作業です。

これらの操作に習熟することは、数学という言語を流暢に操るための第一歩です。特に、\(a^3+b^3+c^3-3abc\) の因数分解とその関連事項は、一見複雑ですが、多くの重要な数学的概念への扉を開く鍵となります。導出過程を理解し、その応用例に触れることで、単なる暗記を超えた本質的な理解を目指してください。

2. 二項定理と多項定理

整式の展開を考える際、\((a+b)^2\)、\((a+b)^3\) までは具体的な計算で公式を導くことができました。しかし、指数がさらに大きくなった場合、例えば \((a+b)^{10}\) のような式を展開する必要が生じたとき、一つ一つ分配法則を適用するのは現実的ではありません。このような高次のべき乗の展開を、一般的かつ体系的に扱うための強力な理論が「二項定理」です。

二項定理は、その名の通り「二つの項」からなる式のべき乗を展開する定理ですが、その背後には「組み合わせ」という確率・統計分野の基本的な考え方が潜んでいます。代数学と組み合わせ論という、一見異なる分野が美しく結びつく瞬間を、この定理は私たちに見せてくれます。さらに、この考え方を三つ以上の項へと拡張したものが「多項定理」です。これらの定理を学ぶことで、私たちは複雑な展開式の中に潜む規則性を見出し、その係数を予見する力を手に入れることができます。

2.1. 二項定理の原理

二項定理は、自然数 \(n\) に対して、\((a+b)^n\) の展開式を与えるものです。

(a+b)n=_nC_0anb0+_nC_1an−1b1+_nC_2an−2b2+dots+_nC_ran−rbr+dots+∗nC_na0bn

これをシグマ記号を用いて書くと、より簡潔に表現できます。

(a+b)n=sum∗r=0n_nC_ran−rbr

ここで、\({}_nC_r\) は、\(n\) 個の異なるものから \(r\) 個を選ぶ組み合わせの総数を表し、\({}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) で計算されます。この係数 \({}_nC_r\) を「二項係数」と呼びます。

2.1.1. 組み合わせの観点からの理解

なぜ展開式の係数が組み合わせの数 \({}_nC_r\) で与えられるのでしょうか。この「なぜ」を理解することが、二項定理を単なる暗記から生きた知識へと昇華させる鍵です。

\((a+b)^n\) という式は、\(n\) 個の因子 \((a+b)\) が掛け合わされていることを意味します。

(a+b)n=underbrace(a+b)(a+b)cdots(a+b)_n個

この式を展開して得られる各項は、\(n\) 個の各々の \((a+b)\) という因子から、\(a\) または \(b\) のどちらか一方を選び、それらをすべて掛け合わせることで作られます。

例えば、展開式における \(a^{n-r}b^r\) という項がどのようにして作られるかを考えてみましょう。この項は、\(n\) 個の因子のうち、\(r\) 個の因子からは \(b\) を選び、残りの \((n-r)\) 個の因子からは \(a\) を選んで掛け合わせることで生成されます。

したがって、\(a^{n-r}b^r\) という項が最終的にいくつできるか、すなわちその係数は、「\(n\) 個の因子の中から \(b\) を選ぶ因子を \(r\) 個選ぶ方法が何通りあるか」という問題に帰着します。これはまさに、組み合わせの定義そのものであり、その総数は \({}_nC_r\) 通りとなります。

具体例：\((a+b)^3\) の場合

\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)\)

この展開を考えてみましょう。

  • \(a^3\) の項: 3つの因子すべてから \(a\) を選ぶ。その選び方は \({}_3C_0=1\) 通り。係数は1。
  • \(a^2b\) の項: 3つの因子のうち、1つから \(b\) を、2つから \(a\) を選ぶ。\(b\) を選ぶ因子の選び方は \({}_3C_1=3\) 通り。係数は3。
  • \(a b^2\) の項: 3つの因子のうち、2つから \(b\) を、1つから \(a\) を選ぶ。\(b\) を選ぶ因子の選び方は \({}_3C_2=3\) 通り。係数は3。
  • \(b^3\) の項: 3つの因子すべてから \(b\) を選ぶ。その選び方は \({}_3C_3=1\) 通り。係数は1。

よって、\((a+b)^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3\) となり、前節で学んだ乗法公式と一致します。この考え方を用いれば、任意の自然数 \(n\) について、展開式を機械的に書き下すことができます。

2.1.2. パスカルの三角形との関係

二項係数 \({}nC_r\) には、\({}nC_r = {}{n-1}C{r-1} + {}_{n-1}C_r\) という重要な性質があります。これは、パスカルの三角形の構成原理そのものです。パスカルの三角形は、各段の数が上の段の隣り合う二つの数の和で与えられる数の配列ですが、その各段の数は \((a+b)^n\) の展開式の係数に対応しています。

n=0: 1

n=1: 1 1

n=2: 1 2 1

n=3: 1 3 3 1

n=4: 1 4 6 4 1

…

例えば、n=4 の段の 1, 4, 6, 4, 1 は、それぞれ \({}_4C_0, {}_4C_1, {}_4C_2, {}_4C_3, {}_4C_4\) の値です。

\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

パスカルの三角形は、二項定理の係数を視覚的に理解し、低い次数の展開を迅速に行うための便利なツールです。

2.2. 二項定理の応用

二項定理は、単に式を展開するためだけでなく、様々な数学的な命題の証明や、近似値の計算、確率問題など、幅広い応用を持っています。

2.2.1. 特定の項の係数を求める

問題例：\((2x – y^2)^7\) の展開式における \(x^4y^6\) の係数を求めよ。

思考プロセス：

  1. 一般項の導出: まず、二項定理を適用して、この展開式の一般項（第 \(r+1\) 項）を求めます。\(a=2x, b=-y^2, n=7\) と考えます。一般項は \({}_7C_r (2x)^{7-r} (-y^2)^r\) となります。
  2. 指数の整理: この式を \(x\) と \(y\) のべき乗の形に整理します。\({}_7C_r \cdot 2^{7-r} \cdot x^{7-r} \cdot (-1)^r \cdot (y^2)^r = {}_7C_r \cdot (-1)^r \cdot 2^{7-r} \cdot x^{7-r} \cdot y^{2r}\)
  3. 指数の比較: 求めたい項は \(x^4y^6\) なので、\(x\) と \(y\) の指数を比較して \(r\) の値を決定します。
    • \(x\) の指数: \(7-r = 4 \Rightarrow r=3\)
    • \(y\) の指数: \(2r = 6 \Rightarrow r=3\)両方の式から同じ \(r=3\) が得られたので、\(x^4y^6\) の項は確かに存在します。
  4. 係数の計算: \(r=3\) を一般項の係数部分 \({}_7C_r \cdot (-1)^r \cdot 2^{7-r}\) に代入します。係数 \(= {}_7C_3 \cdot (-1)^3 \cdot 2^{7-3}\)\(= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-1) \cdot 2^4\)\(= 35 \cdot (-1) \cdot 16 = -560\)

したがって、求める係数は \(-560\) となります。このように、複雑な展開式の全体を書き出すことなく、特定の項だけを狙い撃ちできるのが二項定理の強みです。

2.2.2. 二項係数の性質の証明

二項定理は、二項係数に関する様々な等式の証明に利用できます。

証明例：\({}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n = 2^n\)

この等式は、「n個のものからいくつかを選ぶ方法の総数は \(2^n\) 通りである」という組み合わせ論の基本的な事実を表していますが、二項定理を用いると代数的にエレガントに証明できます。

二項定理の公式

(a+b)n=sum_r=0n_nC_ran−rbr

において、\(a=1, b=1\) を代入してみます。

左辺は \((1+1)^n = 2^n\) となります。

右辺は \(\sum_{r=0}^{n} {}nC_r \cdot 1^{n-r} \cdot 1^r = \sum{r=0}^{n} {}_nC_r = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n\) となります。

したがって、\({}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n = 2^n\) が証明されました。

同様に、\(a=1, b=-1\) を代入すると、

左辺は \((1-1)^n = 0^n = 0\) （ただし \(n \ge 1\)）

右辺は \(\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r \cdot 1^{n-r} \cdot (-1)^r = {}_nC_0 – {}_nC_1 + {}_nC_2 – \dots + (-1)^n {}_nC_n\)

となり、\({}_nC_0 – {}_nC_1 + {}_nC_2 – \dots = 0\) という、符号が交互に変わる和に関する等式も証明できます。

2.3. 多項定理への拡張

二項定理の考え方は、三つ以上の項からなる式のべき乗にも拡張できます。これを「多項定理」と呼びます。

\((a+b+c)^n\) の展開式を考えてみましょう。

展開後の各項は、\(a^p b^q c^r\) という形をしています。ここで、\(p, q, r\) は0以上の整数で、指数の合計は \(p+q+r=n\) を満たします。

二項定理と同様に、その係数は組み合わせの考え方で決定できます。

\((a+b+c)^n\) は、\(n\) 個の因子 \((a+b+c)\) の積です。\(a^p b^q c^r\) という項は、\(n\) 個の因子のうち、\(p\) 個から \(a\) を、\(q\) 個から \(b\) を、\(r\) 個から \(c\) を選んで掛け合わせることで作られます。

この係数は、「\(n\) 個のものを \(p\) 個、\(q\) 個、\(r\) 個の3つのグループに分ける場合の数」に等しく、これは同じものを含む順列の考え方で計算できます。

その係数は \(\frac{n!}{p!q!r!}\) （ただし \(p+q+r=n\)）となります。

問題例：\((x+2y-z)^6\) の展開式における \(x^3y^2z\) の係数を求めよ。

思考プロセス：

  1. 指数の確認: 求めたい項は \(x^3(2y)^2(-z)^1\) の形に変形できる項から生じます。指数の合計は \(3+2+1=6\) であり、元の式のべき乗 \(n=6\) と一致します。
  2. 多項定理の係数公式の適用: 多項定理より、\(x^3(2y)^2(-z)^1\) の項の係数は\(\frac{6!}{3!2!1!} \cdot (係数)^p (係数)^q (係数)^r\) の形で計算できます。係数は \(\frac{6!}{3!2!1!} \cdot (1)^3 \cdot (2)^2 \cdot (-1)^1\)\(= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)(1)} \cdot 1 \cdot 4 \cdot (-1)\)\(= \frac{720}{12} \cdot (-4) = 60 \cdot (-4) = -240\)

したがって、求める係数は \(-240\) となります。多項定理は、二項定理が組み合わせ \({}_nC_r\) に基づいているのに対し、同じものを含む順列に基づいていると理解すると、その構造が明快になります。

2.4. まとめ：一般化と思考の拡張

二項定理と多項定理は、単なる展開の公式を超えた、数学的な思考の強力な枠組みを提供します。

  • 具体から抽象へ: \((a+b)^2, (a+b)^3\) という具体的な計算から、\((a+b)^n\) という一般的な法則を見出すプロセスは、数学における帰納的な思考の良い例です。
  • 分野の融合: 代数的な式の展開が、組み合わせ論という数え上げの問題と本質的に同じ構造を持つことを見抜くことで、問題解決の視野が大きく広がります。
  • 構造的理解: 係数がなぜ \({}_nC_r\) や \(\frac{n!}{p!q!r!}\) になるのか、その理由を理解することで、公式を忘れても自力で再構築できるようになり、より深い応用が可能になります。

これらの定理は、確率の計算、微分の公式の導出（例えば \((x^n)’=nx^{n-1}\)）、近似式の導出など、数学の様々な分野で再び姿を現します。ここでその本質を掴んでおくことは、未来の学習への確かな投資となるでしょう。

3. 整式の除法と剰余の定理、因数定理

数の世界において、足し算、引き算、掛け算に加えて「割り算」を学んだことで、私たちは約数や倍数、素因数分解といった数の構造を深く探求できるようになりました。同様に、整式の世界においても「除法（割り算）」を定義することで、整式の間の関係性をより詳細に分析する強力な道具を手に入れることができます。

このセクションで学ぶ「剰余の定理」と「因数定理」は、整式の除法という操作から導かれる、極めて洗練された、そして応用範囲の広い定理です。特に剰余の定理は、実際に割り算を実行することなく「余り」だけを瞬時に求めることを可能にする魔法のような定理です。そして、その特殊な場合である因数定理は、多項式を因数分解し、高次方程式の解を見つけるための道筋を照らす、まさに羅針盤のような役割を果たします。これらの定理は、代数学における理論と計算の架け橋となる重要な概念です。

3.1. 整式の除法

整式 \(A\) を、0でない整式 \(B\) で割ることを考えます。これは、数の割り算と同様に、次の関係式を満たす整式 \(Q\)（商）と \(R\)（余り）を見つける操作です。

A=BQ+R

ここで重要な制約は、余り \(R\) の次数が、割る式 \(B\) の次数よりも必ず低くなるということです。もし \(R\) の次数が \(B\) の次数以上であれば、まだ割り算を続けることができるからです。余りが0になる場合、すなわち \(A=BQ\) となるとき、\(A\) は \(B\) で「割り切れる」といい、\(B\) は \(A\) の「因数」であるといいます。

3.1.1. 筆算による除法

整式の除法を具体的に実行する方法として、数の割り算と同様の筆算があります。

例題：\(A = 2x^3 – 5x^2 + x + 2\) を \(B = x – 2\) で割る。

        2x^2  -x   -1   (商 Q)
      ________________
x - 2 | 2x^3 - 5x^2 + x + 2
      -(2x^3 - 4x^2)
      ________________
            -x^2  + x
          -(-x^2 + 2x)
          ____________
                  -x  + 2
                -(-x  + 2)
                ________
                       0   (余り R)

筆算のプロセス解説：

  1. 割られる式（被除数）と割る式（除数）を、降べきの順に整理して書きます。
  2. 被除数の最高次の項（\(2x^3\)）を、除数の最高次の項（\(x\)）で割ります（\(2x^3 \div x = 2x^2\)）。これが商の最初の項になります。
  3. 得られた商の項（\(2x^2\)）と除数（\(x-2\)）を掛け合わせ（\(2x^2(x-2)=2x^3-4x^2\)）、被除数から引きます。
  4. 引き算の結果（\(-x^2+x+2\)）を新たな被除数と見なし、ステップ2と3を繰り返します。これを、余りの次数が除数の次数より低くなるまで続けます。

この計算の結果、商 \(Q\) は \(2x^2-x-1\)、余り \(R\) は \(0\) となります。

したがって、\(2x^3 – 5x^2 + x + 2 = (x-2)(2x^2-x-1) + 0\) という関係が成り立ちます。この場合、余りが0なので、\(x-2\) は \(2x^3 – 5x^2 + x + 2\) の因数であることがわかります。

3.2. 剰余の定理

整式の除法は、特に割る式の次数が高い場合や係数が複雑な場合には、手間のかかる計算です。もし、商を求める必要がなく、「余り」だけを知りたいのであれば、筆算を行うことなく、もっとはるかに簡単な方法で求めることができます。それを可能にするのが剰余の定理です。

剰余の定理

整式 \(P(x)\) を1次式 \(x-\alpha\) で割ったときの余りは、\(P(x)\) の \(x\) に \(\alpha\) を代入した値 \(P(\alpha)\) に等しい。

3.2.1. 定理の証明と思考の核心

なぜこのような単純な操作で余りが求まるのでしょうか。その理由は、整式の除法の基本関係式にあります。

整式 \(P(x)\) を \(x-\alpha\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、

P(x)=(x−alpha)Q(x)+R

という関係が成り立ちます。ここで、割る式 \(x-\alpha\) は1次式なので、余り \(R\) の次数はそれより低い、すなわち0次式となります。したがって、余り \(R\) は \(x\) を含まない定数です。

この等式は、\(x\) にどのような値を代入しても成り立つ「恒等式」です。そこで、この式の \(x\) に \(\alpha\) を代入してみます。

P(alpha)=(alpha−alpha)Q(alpha)+R

P(alpha)=0cdotQ(alpha)+R

P(alpha)=R

これにより、余り \(R\) が \(P(\alpha)\) と等しいことが、見事に証明されました。

この証明の核心は、商 \(Q(x)\) がどのような複雑な式であっても、その係数である \((x-\alpha)\) が0になるような \(x\) の値（\(x=\alpha\)）を代入することで、\(Q(x)\) の部分を計算から消去してしまう、という巧みなアイデアにあります。

【ミニケーススタディ：定理の威力】

受験生Cさんは、問題「整式 \(P(x) = x^3 – 7x^2 + 5x – 1\) を \(x-1\) で割った余りを求めよ」に対して、筆算を始めました。計算は複雑で、途中で符号のミスを犯し、間違った答えを出してしまいました。

一方、受験生Dさんは剰余の定理を知っていました。彼女は、\(x-1\) で割った余りは \(P(1)\) に等しいことを理解していたので、単に \(x=1\) を \(P(x)\) に代入しました。

\(P(1) = 1^3 – 7(1)^2 + 5(1) – 1 = 1 – 7 + 5 – 1 = -2\)

彼女はわずか10秒で、正確な答え \(-2\) を導き出しました。剰余の定理は、計算の手間を劇的に削減し、ケアレスミスを減らすための強力な武器となります。

3.2.2. 剰余の定理の拡張

剰余の定理は、割る式が \(ax-b\) のような一般的な1次式の場合にも適用できます。

整式 \(P(x)\) を \(ax-b\) で割った余りは、\(P(\frac{b}{a})\) に等しくなります。

証明も同様で、\(P(x) = (ax-b)Q(x) + R\) に、\(ax-b=0\) の解である \(x=\frac{b}{a}\) を代入すれば、\(P(\frac{b}{a}) = R\) が得られます。

さらに、割る式が2次式の場合にも応用できます。

整式 \(P(x)\) を2次式 \((x-\alpha)(x-\beta)\) で割ったときの余りを求めたい場合を考えます。

割る式が2次式なので、余りは1次以下の式、すなわち \(ax+b\) と置くことができます。

P(x)=(x−alpha)(x−beta)Q(x)+ax+b

この式に \(x=\alpha\) と \(x=\beta\) をそれぞれ代入すると、

\(P(\alpha) = a\alpha+b\)

\(P(\beta) = a\beta+b\)

という、\(a\) と \(b\) に関する連立方程式が得られます。これを解くことで、余りである \(ax+b\) を具体的に決定することができます。

3.3. 因数定理

因数定理は、剰余の定理の非常に重要で特殊なケースです。剰余の定理において、余り \(R\) が \(0\) になる場合を考えてみましょう。

因数定理

整式 \(P(x)\) において、

  1. \(P(\alpha)=0\) ならば、\(x-\alpha\) は \(P(x)\) の因数である。
  2. \(x-\alpha\) が \(P(x)\) の因数ならば、\(P(\alpha)=0\) である。

【定理の証明】

  1. 剰余の定理より、\(P(x)\) を \(x-\alpha\) で割った余りは \(P(\alpha)\) です。条件より \(P(\alpha)=0\) なので、余りは0です。したがって、\(P(x) = (x-\alpha)Q(x) + 0\) となり、\(x-\alpha\) は \(P(x)\) の因数であることがわかります。
  2. \(x-\alpha\) が \(P(x)\) の因数であるならば、\(P(x) = (x-\alpha)Q(x)\) と書けます。この式の \(x\) に \(\alpha\) を代入すると、\(P(\alpha) = (\alpha-\alpha)Q(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) = 0\) となります。

因数定理は、「\(P(\alpha)=0\) を見つけること」と「因数 \(x-\alpha\) を見つけること」が、数学的に同じこと（同値）であることを保証してくれます。これにより、高次式の因数分解の問題は、「その式に代入して0になる値（すなわち、方程式 \(P(x)=0\) の解）を探す」という問題に置き換えられます。

3.3.1. 因数定理を用いた高次式の因数分解

問題：\(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) を因数分解せよ。

思考プロセス：

  1. 因数の候補を探す: まず、\(P(\alpha)=0\) となる \(\alpha\) を探します。もし、この式に整数係数の1次式の因数 \(ax-b\) があるとすれば、その解 \(x=b/a\) の候補は、\(a\) が最高次の係数（この場合は1）の約数、\(b\) が定数項（-6）の約数であるという性質が知られています（有理数解の定理）。したがって、候補となる \(\alpha\) は、定数項 \(-6\) の約数、すなわち \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\) となります。
  2. 値を代入して0になるものを探す: 候補を順番に代入していきます。
    • \(P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\)。見つかりました。これにより、因数定理から \(x-1\) が \(P(x)\) の因数であることが確定します。
  3. 割り算を実行する: \(P(x)\) を因数 \(x-1\) で割って、残りの因数を求めます。これは筆算で行うこともできますが、「組立除法」というより簡便な方法もあります。組立除法: 1 | 1 -6 11 -6 | 1 -5 6 ----------------- 1 -5 6 | 0 この結果から、商は \(x^2-5x+6\) で、余りが0であることがわかります。
  4. 残りの因数をさらに因数分解する:\(P(x) = (x-1)(x^2-5x+6)\)商の \(x^2-5x+6\) は、さらに \((x-2)(x-3)\) と因数分解できます。
  5. 最終的な結果:\(P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\)

因数定理は、3次以上の高次式の因数分解を行う際の、最初の突破口を見つけるための極めて有効な手段です。

3.4. まとめ：構造を明らかにする定理

整式の除法、剰余の定理、因数定理は、単なる計算テクニックではなく、多項式の代数的な構造を解明するための理論的な基盤です。

  • 整式の除法は、多項式を「商」と「余り」に分解する基本的な操作です。
  • 剰余の定理は、その「余り」という情報だけを、恒等式の性質を利用して効率的に抽出するショートカットを提供します。
  • 因数定理は、余りが0という特別な場合に焦点を当て、「因数を持つこと」と「方程式の解を持つこと」という二つの異なる概念を結びつけます。

これらの定理を深く理解し、使いこなすことで、高次方程式の求解、関数のグラフの概形把握、さらにはより抽象的な代数学の理論へと続く道が開かれます。計算の実行能力と、その背景にある理論的構造の理解の両方をバランスよく身につけることが重要です。

4. 分数式の計算

数の世界を、自然数から整数へ、そして有理数（分数）へと拡張してきたように、代数の世界も整式から「分数式」へとその領域を広げます。分数式とは、分母と分子が整式で表される式のことです。例えば、\(\frac{1}{x}\) や \(\frac{2x+1}{x^2-4}\) などがこれにあたります。

分数式の計算は、私たちが小学校で学んだ分数の計算と本質的に同じルールに基づいています。約分、通分、そして四則演算（加法、減法、乗法、除法）。これらの操作を、数が整式に置き換わっただけのものとして、冷静に適用することが基本となります。しかし、扱う対象が複雑になる分、計算の過程で因数分解などの整式の操作が頻繁に必要となり、より総合的な代数操作能力が問われます。このセクションでは、分数式の基本的な計算方法をマスターし、より複雑な「繁分数式」や「部分分数分解」といった応用的なテーマにも触れていきます。

4.1. 分数式の基本

分数式 \(\frac{A}{B}\) （ただし \(A, B\) は整式で \(B \neq 0\)）を扱う上での大原則は、**「分母と分子に同じ0でない整式を掛けたり割ったりしても、その値は変わらない」**というものです。

fracAB=fracAtimesCBtimesCquad(Cneq0)

fracAB=fracAdivDBdivDquad(Dneq0)

この性質が、約分と通分の操作の正当性を保証します。

4.1.1. 約分：式を最も簡単な形に

約分とは、分母と分子の共通因数を探し出し、それで割ることで式を簡単にする操作です。分数式を扱う際は、常に約分できないか、つまり「既約分数式」になっているかを確認する習慣をつけることが重要です。

約分の手順：

  1. 分母と分子をそれぞれ因数分解する。
  2. 両者に共通する因数（多項式）を見つける。
  3. その共通因数で分母と分子を割る。

例題：分数式 \(\frac{x^2-x-6}{x^2-9}\) を約分せよ。

  1. 分子の因数分解: \(x^2-x-6 = (x-3)(x+2)\)
  2. 分母の因数分解: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)
  3. 共通因数の特定と約分: 分母と分子に共通因数 \((x-3)\) があります。frac(x−3)(x+2)(x−3)(x+3)=fracx+2x+3これで約分は完了です。

【思考のポイント：因数分解の重要性】

初学者が犯しがちな誤りとして、\(\frac{x^2-1}{x-1}\) を \(\frac{x-1}{1}\) のように、項の一部だけを約分してしまうケースがあります。これは全くの誤りです。約分は、積の形（因数）に対してのみ行える操作であり、和や差の形（項）に対しては行えません。したがって、分数式の計算を行う前の大前提として、分母・分子を徹底的に因数分解するという意識が不可欠です。

4.2. 分数式の四則演算

4.2.1. 乗法と除法

分数式の乗法と除法は、数の分数計算と全く同じです。

  • 乗法: 分母は分母どうし、分子は分子どうしを掛け合わせる。fracABtimesfracCD=fracACBD
  • 除法: 割る式の分母と分子をひっくり返して（逆数をとって）掛け合わせる。fracABdivfracCD=fracABtimesfracDC=fracADBC

計算の実行にあたっては、掛け合わせる前に、可能な限り約分を行うことが計算を簡略化する鍵です。

例題：\(\frac{x^2+x}{x^2-4} \div \frac{x+1}{x-2}\) を計算せよ。

  1. 各項を因数分解:
    • \(x^2+x = x(x+1)\)
    • \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)
  2. 除法を乗法に変換:fracx(x+1)(x−2)(x+2)timesfracx−2x+1
  3. 約分: この段階で、計算の途中で現れる共通因数を約分します。\((x+1)\) と \((x-2)\) が共通因数です。=fracxcancel(x+1)cancel(x−2)(x+2)timesfraccancelx−2cancelx+1
  4. 最終結果:=fracxx+2先に展開してしまうと、高次式となり共通因数を見つけるのが困難になります。常に因数分解された形を保ちながら計算を進めるのが賢明です。

4.2.2. 加法と減法

分数式の加法と減法には、「通分」という操作が必要です。通分とは、複数の分数式の分母を同じ式（共通分母）に揃えることです。共通分母には、通常、各分母の最小公倍式を用います。

加法・減法の手順：

  1. 各分数式の分母を因数分解する。
  2. すべての分母の因数を網羅する最小公倍式を決定する。
  3. 各分数式の分母が最小公倍式になるように、分母と分子に適切な整式を掛ける。
  4. 分母が揃ったら、分子どうしで加法・減法を行う。
  5. 計算結果の分子を整理し、可能であれば最後に約分する。

例題：\(\frac{1}{x^2-x} – \frac{1}{x^2-1}\) を計算せよ。

  1. 分母の因数分解:
    • \(x^2-x = x(x-1)\)
    • \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)
  2. 最小公倍式の決定: 両方の分母に含まれる因数は \(x, (x-1), (x+1)\) です。したがって、最小公倍式は \(x(x-1)(x+1)\) となります。
  3. 通分:
    • 第一項：分母を \(x(x-1)(x+1)\) にするため、分子と分母に \((x+1)\) を掛ける。frac1x(x−1)=frac1cdot(x+1)x(x−1)(x+1)=fracx+1x(x−1)(x+1)
    • 第二項：分母を \(x(x-1)(x+1)\) にするため、分子と分母に \(x\) を掛ける。frac1(x−1)(x+1)=frac1cdotxx(x−1)(x+1)=fracxx(x−1)(x+1)
  4. 分子の計算:fracx+1x(x−1)(x+1)−fracxx(x−1)(x+1)=frac(x+1)−xx(x−1)(x+1)=frac1x(x−1)(x+1)
  5. 最終確認: 分子は定数1なので、これ以上約分はできません。分母は展開せず、因数分解された形のままにしておくのが一般的です。

4.3. 応用的な分数式

4.3.1. 繁分数式

繁分数式とは、分母や分子にさらに分数式が含まれているような、入れ子構造になった分数式のことです。

text例：quadfrac11+frac11+x

繁分数式を簡単にするには、二つの基本的なアプローチがあります。

  • アプローチ1：内側から順に計算する分母や分子に含まれる小さな分数式の計算を先に行い、段階的に単純な分数式に直していきます。例題の場合、まず分母の \(1+\frac{1}{1+x}\) を計算します。1+frac11+x=frac1+x1+x+frac11+x=frac(1+x)+11+x=fracx+21+xこれを元の式に代入すると、frac1fracx+21+xこれは \(1 \div \frac{x+2}{1+x}\) を意味するので、逆数をとって、=1timesfrac1+xx+2=fracx+1x+2となります。
  • アプローチ2：分母分子に同じ式を掛ける式全体を見て、内側にある分数の分母をすべて解消できるような式を、全体の分母と分子に掛けます。例題の場合、内側の分母は \(1+x\) です。そこで、元の式の分母と分子に \((1+x)\) を掛けます。frac1cdot(1+x)(1+frac11+x)cdot(1+x)=frac1+x1cdot(1+x)+frac11+xcdot(1+x)=frac1+x(1+x)+1=fracx+1x+2どちらのアプローチでも同じ結果が得られます。式の形によって、より計算が楽な方を選択するとよいでしょう。

4.3.2. 部分分数分解（発展）

これは、一つの分数式を、複数のより単純な分数式の和や差の形に分解するテクニックです。特に、積分法において複雑な有理関数を積分する際に極めて重要な役割を果たします。

例えば、\(\frac{1}{x(x+1)}\) という分数式は、\(\frac{1}{x} – \frac{1}{x+1}\) と分解できます。

右辺を通分して計算してみると、

frac1x−frac1x+1=fracx+1x(x+1)−fracxx(x+1)=frac(x+1)−xx(x+1)=frac1x(x+1)

となり、元の式に戻ることが確認できます。

このような分解を「部分分数分解」と呼びます。この技術は、数列の和を求める際など、様々な場面で応用されます。例えば、\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\) のような和を計算する際に、\(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\) と分解することで、中間の項が次々と打ち消し合い、和が簡単に求まります。

4.4. まとめ：抽象化された算術

分数式の計算は、数の計算規則が、より抽象的な「整式」という対象に対しても普遍的に適用できることを示す好例です。

  • 基本原則の徹底: 約分、通分、四則演算のルールは数の場合と同じです。
  • 因数分解の優位性: 計算のあらゆる段階で、式を因数分解された形に保つことが、見通しを良くし、計算ミスを防ぐための鍵となります。
  • 構造の変換: 部分分数分解のように、一つの表現（積分の難しい形）を別の表現（積分の容易な形の和）に変換する技術は、問題をより扱いやすい形に変形するという、数学における重要な問題解決戦略の一つです。

分数式の計算に習熟することは、単に計算力を高めるだけでなく、式の構造を見抜き、目的に応じて最適な形に変形する能力を養うことに繋がります。

5. 恒等式（数値代入法、係数比較法）

数学で扱う「等式」には、大きく分けて二つの種類があります。一つは「方程式」であり、もう一つが「恒等式」です。この二つの概念を明確に区別し、理解することは、数学の論理を正確に運用する上で極めて重要です。

  • 方程式 (Equation): 式に含まれる特定の文字（変数）に、ある特定の値を代入したときにだけ成り立つ等式。例えば、\(2x-4=0\) は \(x=2\) のときにのみ成り立ちます。方程式を「解く」とは、この特定の値を求めることを意味します。
  • 恒等式 (Identity): 式に含まれる文字に、どのような値を代入しても常に成り立つ等式。例えば、\((x+1)^2 = x^2+2x+1\) は、\(x\) がどんな実数（あるいは複素数）であっても常に成り立ちます。乗法公式や因数分解の公式はすべて恒等式の一種です。

このセクションでは、ある等式が恒等式であることを証明したり、恒等式の中に含まれる未知の係数を決定したりするための、二つの基本的な手法「係数比較法」と「数値代入法」について学びます。これらの手法は、部分分数分解、不定積分の計算、軌跡の問題など、数学の様々な分野で応用される基本的ながら強力なツールです。

5.1. 恒等式の性質

恒等式の最も基本的な性質は、その定義そのもの、すなわち「文字にどんな値を代入しても成り立つ」という点にあります。この性質から、係数に関する重要な定理が導かれます。

整式 \(P(x), Q(x)\) に関して、次のことが成り立ちます。

  1. 等式 \(P(x) = Q(x)\) が \(x\) についての恒等式である\(\Leftrightarrow\) \(P(x)\) と \(Q(x)\) の同じ次数の項の係数がすべて等しい。
  2. 等式 \(P(x) = 0\) が \(x\) についての恒等式である\(\Leftrightarrow\) \(P(x)\) のすべての項の係数が0である。

例えば、\(ax^2+bx+c = 2x^2-3x+5\) が \(x\) についての恒等式であるならば、両辺の係数を比較して、\(a=2, b=-3, c=5\) と結論できます。また、\(ax^2+bx+c=0\) が恒等式ならば、\(a=0, b=0, c=0\) となります。

この性質が、未知係数を決定する「係数比較法」の理論的な根拠となります。

5.2. 未知係数の決定法

与えられた等式が恒等式であるという条件の下で、式に含まれる未知の係数（例えば \(a, b, c\) など）を決定する問題は、非常によく出題されます。そのための主要な方法が次の二つです。

5.2.1. 係数比較法

係数比較法は、恒等式の性質を直接利用する方法です。

手順：

  1. 与えられた等式の両辺を、ある一つの文字（例えば \(x\)）について降べきの順に整理する。
  2. 両辺の同じ次数の項の係数を比較し、それらが等しいという連立方程式を立てる。
  3. その連立方程式を解き、未知係数の値を決定する。

例題：等式 \(a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 2x^2+3x+4\) が \(x\) についての恒等式であるとき、定数 \(a,b,c\) の値を求めよ。

  1. 左辺の整理: まず、左辺を展開し、\(x\) について降べきの順に整理します。a(x2−2x+1)+b(x−1)+c=ax2−2ax+a+bx−b+c=ax2+(−2a+b)x+(a−b+c)
  2. 係数の比較: 整理された左辺と右辺 \(2x^2+3x+4\) の係数を比較します。
    • \(x^2\) の係数: \(a = 2\)
    • \(x\) の係数: \(-2a+b = 3\)
    • 定数項: \(a-b+c = 4\)
  3. 連立方程式を解く:第一式から \(a=2\) はすぐにわかります。これを第二式に代入すると、\(-2(2)+b=3 \Rightarrow -4+b=3 \Rightarrow b=7\)。\(a=2, b=7\) を第三式に代入すると、\(2-7+c=4 \Rightarrow -5+c=4 \Rightarrow c=9\)。

したがって、求める値は \(a=2, b=7, c=9\) となります。

係数比較法の長所と短所:

  • 長所: 理論的に明快であり、確実に答えにたどり着ける。
  • 短所: 式を展開し整理する計算が、特に次数が高い場合や式が複雑な場合に煩雑になることがある。

5.2.2. 数値代入法

数値代入法は、恒等式が「どんな値を代入しても成り立つ」という性質を積極的に利用する方法です。

手順：

  1. 未知係数の数と同じだけ（あるいはそれ以上）の、計算が楽になるような値を文字に代入する。
  2. 代入した値ごとに等式を立て、未知係数に関する連立方程式を作る。
  3. その連立方程式を解き、未知係数の値を決定する。
  4. （理論的注意点） この方法で得られた解は、代入した特定の数値に対して式が成り立つことを保証するだけである。したがって、厳密には、得られた係数を元の式に戻し、それが本当に恒等式になること（つまり、係数比較法で成り立つこと）を確認する必要がある。ただし、大学入試などでは、恒等式であることが前提となっている問題がほとんどなので、この確認は省略されることが多い。

【理論的背景の補足】

\(n\) 次の整式 \(P(x)\) について、\(P(x)=0\) が \(n+1\) 個の異なる \(x\) の値で成り立つならば、その等式は恒等式であることが証明されています。数値代入法で未知係数の数（これは通常、最高次数+1より小さい）だけ値を代入して解を求める操作は、この定理によってその正当性が保証されています。

例題（係数比較法と同じ問題）：等式 \(a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 2x^2+3x+4\) が \(x\) についての恒等式であるとき、定数 \(a,b,c\) の値を求めよ。

  1. 代入する値の選定: 未知係数は \(a,b,c\) の3つなので、3つの異なる \(x\) の値を代入します。計算が楽になるように、括弧の中が0になるような値を選ぶのが定石です。
    • \(x-1=0\) となる \(x=1\)
    • その他、計算が簡単な \(x=0, x=2\) などを選びます。
  2. 値の代入と方程式の立式:
    • \(x=1\) を代入:左辺: \(a(0)^2 + b(0) + c = c\)右辺: \(2(1)^2+3(1)+4 = 2+3+4 = 9\)よって、\(c=9\)。
    • \(x=0\) を代入:左辺: \(a(-1)^2 + b(-1) + c = a-b+c\)右辺: \(2(0)^2+3(0)+4 = 4\)よって、\(a-b+c = 4\)。
    • \(x=2\) を代入:左辺: \(a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c\)右辺: \(2(2)^2+3(2)+4 = 8+6+4 = 18\)よって、\(a+b+c=18\)。
  3. 連立方程式を解く:すでに \(c=9\) がわかっているので、残りの二式に代入します。\(a-b+9 = 4 \Rightarrow a-b = -5\)\(a+b+9 = 18 \Rightarrow a+b = 9\)この2式を足し合わせると \(2a=4 \Rightarrow a=2\)。これを \(a+b=9\) に代入すると \(2+b=9 \Rightarrow b=7\)。

したがって、求める値は \(a=2, b=7, c=9\) となり、係数比較法と同じ結果が得られました。

数値代入法の長所と短所:

  • 長所: 式の形によっては、展開・整理の手間が省け、計算が非常に楽になる。
  • 短所: 代入する値の選び方によっては、連立方程式の計算が複雑になることがある。また、前述の通り、理論的な厳密性を欠く場合がある（ただし実用上は問題ないことが多い）。

5.3. 手法の選択

係数比較法と数値代入法のどちらを使うべきかは、問題の式の形によって決まります。

  • 係数比較法が有利な場合: 両辺がすでに \(x\) の多項式として整理されているか、簡単に整理できる場合。例：\(ax^2+bx+c = (2x+1)(x-3)\)
  • 数値代入法が有利な場合: 式が \((x-\alpha), (x-\beta)\) のような因数を多く含んでいる場合。代入によって多くの項が0になり、計算が劇的に簡単になる。例：\(\frac{1}{x(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x-2}\) （部分分数分解の係数決定）この式の両辺に \(x(x-1)(x-2)\) を掛けると、\(1 = a(x-1)(x-2) + bx(x-2) + cx(x-1)\) となり、\(x=0, 1, 2\) を代入すれば \(a,b,c\) が簡単に求まります。

場合によっては、両方の手法を組み合わせることも有効です。例えば、いくつかの値を代入して一部の係数を決定し、残りを係数比較法で求める、といった柔軟な対応が求められます。

5.4. まとめ：等式の性質を深く理解する

恒等式の概念と、その未知係数を決定する二つの手法は、今後の数学学習の様々な場面で基盤となる知識です。

  • 方程式と恒等式の区別: 二つの概念の違いを意識することは、論理的な文章を読み書きする上での基本です。
  • 係数比較法の普遍性: この方法は、恒等式の定義に直結した、最も基本的で確実な方法です。
  • 数値代入法の巧妙さ: この方法は、恒等式の「任意の値を代入できる」という性質を利用した、エレガントで強力なショートカットです。

これらの手法を学ぶことは、単なる計算テクニックの習得に留まりません。それは、与えられた等式の性質を見抜き、最も効率的で合理的な解法を選択するという、数学的な問題解決能力そのものを鍛えることに繋がります。

6. 等式の証明

数学における「証明」とは、ある命題（主張）が、いくつかの前提（公理や定義、既知の定理）から論理的な推論規則のみを用いて導かれることを、客観的に検証可能な形で示す行為です。それは数学という学問の根幹をなす営みであり、論理的思考力の集大成ともいえます。

このセクションでは、数学的証明の第一歩として、「等式の証明」を取り上げます。与えられた等式が、特定の条件下で、あるいは常に（恒等式として）成り立つことを示すための基本的な作法と戦略を学びます。ここで身につける論理の運び方や式の見方は、後に学ぶより複雑な不等式の証明や、図形の性質の証明など、あらゆる証明問題に応用できる基礎となります。証明問題は、単に答えを出すだけでなく、その結論に至るまでの思考のプロセスを、他者に伝わる形で正確に記述する能力が問われる分野です。

6.1. 等式証明の基本戦略

等式 \(A=B\) を証明するための基本的な戦略は、主に以下の3つのパターンに分類されます。どの戦略を選択するかは、与えられた式の形や複雑さによって判断します。

  1. 一方の辺を式変形して、他方の辺を導く
    • \(A\) を変形していく \(\rightarrow \dots \rightarrow B\)
    • または、\(B\) を変形していく \(\rightarrow \dots \rightarrow A\)これは最も直接的で明快な方法です。通常、より複雑な辺から、より単純な辺へと変形していく方が、見通しが立ちやすいことが多いです。
  2. 両辺をそれぞれ式変形して、同じ式を導く
    • \(A\) を変形していく \(\rightarrow \dots \rightarrow C\)
    • \(B\) を変形していく \(\rightarrow \dots \rightarrow C\)よって、\(A=C\) かつ \(B=C\) なので、\(A=B\) であると結論します。両辺がともに複雑な形をしていて、一方から他方へ直接変形するのが困難な場合に有効な方法です。
  3. 両辺の差を作り、0になることを示す
    • \(A-B\) を計算していく \(\rightarrow \dots \rightarrow 0\)この変形が成功すれば、\(A-B=0\) となり、移項して \(A=B\) が証明されます。この方法は、特に両辺に共通の項が多い場合や、因数分解によって0であることが示せる場合に強力です。これは、後の不等式の証明（\(A-B>0\) を示す）にも繋がる、非常に汎用性の高い考え方です。

【証明記述における注意点】

証明問題の答案では、「\(A=B\) を示す」という目的を最初に明確にし、証明が完了した時点で「よって、等式 \(A=B\) は成り立つ」のように結論を明記することが重要です。また、証明の途中で、まだ示されていない \(A=B\) という式を、あたかも既に成り立っているかのように書いてはいけません。例えば、\(A=B\) の両辺を2乗したり、両辺に同じ数を足したりする操作から証明を始めるのは、論理の誤り（結論の先取り）です。

6.2. 証明の実践

6.2.1. 恒等式の証明

これは、与えられた等式が常に成り立つことを示す問題です。

例題：等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2\) を証明せよ。（ラグランジュの恒等式）

思考プロセス:

この等式は、左辺も右辺も比較的複雑です。一方から他方への変形は少し難しそうに見えます。このような場合、両辺をそれぞれ展開・整理して同じ式になることを示す戦略（パターン2）か、差を取って0になることを示す戦略（パターン3）が有効です。ここでは、パターン3で試みてみましょう。

証明（パターン3：差を取る方法）

(右辺) – (左辺) を計算し、0になることを示す。

(ax+by)2+(ay−bx)2−(a2+b2)(x2+y2)

まず、各項を展開します。

=(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2−2abxy+b2x2)−(a2x2+a2y2+b2x2+b2y2)

次に、同類項を整理します。\(+2abxy\) と \(-2abxy\) は打ち消し合います。

=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2−a2x2−a2y2−b2x2−b2y2

すべての項が打ち消し合うことがわかります。

=(a2x2−a2x2)+(b2y2−b2y2)+(a2y2−a2y2)+(b2x2−b2x2)

=0

したがって、(右辺) – (左辺) = 0 が示されたので、(左辺) = (右辺) である。

よって、与えられた等式は成り立つ。 [証明終]

別解（パターン1：複雑な方から単純な方へ）

この問題では、右辺を展開・整理することで左辺を導くことも可能です。

(右辺) \(= (ax+by)^2 + (ay-bx)^2\)

\(= (a^2x^2+2abxy+b^2y^2) + (a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)

\(= a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2\)

ここで、項をうまくグループ化し、共通因数でくくります。

\(= (a^2x^2+a^2y^2) + (b^2x^2+b^2y^2)\)

\(= a^2(x^2+y^2) + b^2(x^2+y^2)\)

最後に、共通因数 \((x^2+y^2)\) で全体をくくります。

\(= (a^2+b^2)(x^2+y^2)\)

これは左辺の式に等しい。

よって、与えられた等式は成り立つ。 [証明終]

6.3. 条件付きの等式の証明

多くの場合、等式の証明には「\(a+b+c=0\) のとき」のような条件が付与されています。このような問題では、与えられた条件式をどのように利用するかが鍵となります。

条件式の利用法：

  1. 文字を消去する: 条件式を一つの文字について解き（例：\(c = -a-b\)）、証明したい等式に代入して文字の数を減らす。これにより、式が簡単になり、見通しが良くなることが多い。最も基本的かつ強力な方法です。
  2. 式の値を代入する: 条件式そのもの、あるいは条件式から導かれる式の値を利用する。例えば、「\(x^2-3x+1=0\) のとき、\(x^2=3x-1\) であることを利用して、より高次の式の次数を下げる」といった使い方をします。

例題：\(a+b+c=0\) のとき、等式 \(a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)\) を証明せよ。

思考プロセス:

条件 \(a+b+c=0\) が与えられています。これを使って文字を消去する方法（例えば \(c=-a-b\) を代入）も可能ですが、この問題ではより見通しの良い方法があります。それは、条件式の両辺を2乗するというアイデアです。証明したい式の形 \(a^2+b^2+c^2\) や \(ab+bc+ca\) は、\((a+b+c)^2\) の展開式に現れるパーツであることに気づけるかがポイントです。

証明

与えられた条件 \(a+b+c=0\) の両辺を2乗すると、

(a+b+c)2=02

左辺を展開すると、

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0

これを整理すると、

a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0

最後に、\(2(ab+bc+ca)\) を右辺に移項すると、

a2+b2+c2=−2(ab+bc+ca)

となり、証明すべき等式が導かれた。 [証明終]

【別解：文字を消去する方法】

この方法でも証明できることを確認しておきましょう。

条件より \(c = -(a+b)\)。これを証明したい等式の左辺と右辺にそれぞれ代入し、両者が一致することを示します（パターン2）。

(左辺) \(= a^2+b^2+c^2 = a^2+b^2+{-(a+b)}^2\)

\(= a^2+b^2+(a^2+2ab+b^2)\)

\(= 2a^2+2ab+2b^2\)

(右辺) \(= -2(ab+bc+ca) = -2{ab+b(-(a+b))+(-(a+b))a}\)

\(= -2{ab -ab-b^2 -a^2-ab}\)

\(= -2(-a^2-ab-b^2)\)

\(= 2a^2+2ab+2b^2\)

(左辺) = (右辺) となったので、与えられた等式は成り立つ。 [証明終]

この別解からもわかるように、文字を消去する方法は確実ですが、計算がやや煩雑になることがあります。式の構造を見抜き、よりエレガントな証明方法を選択できると、思考のレベルが一段上がります。

6.4. まとめ：論理の骨格を学ぶ

等式の証明は、数学的な主張を論理的に正当化するプロセスの基本です。

  • 明確な戦略: 「一方から他方へ」「それぞれ変形」「差を取って0」という3つの基本戦略を理解し、問題に応じて最適なものを選択する能力が重要です。
  • 条件式の活用: 条件付きの証明では、「文字の消去」や「式の値の利用」といった条件式の操作が鍵を握ります。
  • 記述の正確性: 証明は、他者が読んで納得できる形で記述されなければなりません。論理の飛躍がなく、一つ一つの式変形が正当であることを示す必要があります。

ここで学ぶ証明の作法は、単なる一分野の知識ではありません。それは、数学全体、さらには他の論理的な学問分野においても通用する、思考の骨格を形成する訓練なのです。

7. 不等式の証明（相加平均・相乗平均の関係）

等式が「等しい」という関係を主張するのに対し、不等式は二つの数量の「大小関係」を主張します。私たちの身の回りでは、「AはB以上である」「コストを最小にしたい」といった大小関係に基づく判断が頻繁に行われており、不等式は現実世界をモデル化する上で非常に重要な役割を果たします。

不等式の証明は、等式の証明よりも一般に複雑で、より深い洞察を必要とします。なぜなら、単に式を変形するだけでなく、その式の値が「常に正である」ことや「常に負である」ことを示さなければならないからです。このセクションでは、不等式証明の基本的な考え方と、その応用として極めて重要かつ有名な「相加平均と相乗平均の関係」について詳しく学びます。この関係式は、大学入試における最大・最小問題で絶大な威力を発揮する、必ずマスターすべき定理の一つです。

7.1. 不等式証明の基本戦略

実数 \(A, B\) の大小を比較する基本的な方法は、等式の証明における「差を取る」方法を発展させたものです。

基本原則：\(A > B\) を証明するためには、\(A-B > 0\) を示せばよい。

この原則に基づき、証明は以下の手順で進められます。

  1. 差を作る: まず、\(A-B\) という式を作る。
  2. 式変形: \(A-B\) を式変形し、その式の符号が常に正（あるいは0以上）であることが明らかな形を目指す。
  3. 結論を導く: \(A-B>0\) （または \(A-B \ge 0\)）が示されたことから、結論として \(A>B\) （または \(A \ge B\)）が成り立つと述べる。

では、「符号が常に正（あるいは0以上）であることが明らかな形」とは、具体的にどのような形でしょうか。代表的なものは以下の通りです。

  • 平方の形: \((\text{実数})^2 \ge 0\)実数の2乗は必ず0以上になります。この性質は不等式証明で最も頻繁に利用されます。\((x-y)^2 \ge 0\) や、平方完成された2次式 \((x-p)^2+q \ge q\) などが典型例です。複数の平方の和、例えば \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0\) のような形も強力です。
  • 正の数の和や積: （正の数）+（正の数） > 0、（正の数）×（正の数） > 0与えられた条件（例：\(a>0, b>0\)）から、式の各部分が正であることがわかれば、それらの和や積も正であると結論できます。
  • 絶対値: \(|\text{実数}| \ge 0\)絶対値も常に0以上となるため、利用できます。

また、不等式の証明では、等号が成立する条件、すなわち \(A-B=0\) となるのはどのようなときかを問われることが非常に多いです。証明の最後には、必ず**「等号成立は〜のとき」**と明記する習慣をつけましょう。例えば、\((x-y)^2 \ge 0\) の等号が成立するのは \(x-y=0\)、すなわち \(x=y\) のときです。

7.2. 平方を利用した証明

例題：実数 \(x, y\) について、不等式 \(x^2+y^2 \ge 2xy\) を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

証明

(左辺) – (右辺) を計算する。

x2+y2−2xy=x2−2xy+y2

この式は因数分解の公式から、平方の形に変形できる。

=(x−y)2

実数の平方は常に0以上であるから、

(x−y)2ge0

したがって、\(x^2+y^2 – 2xy \ge 0\) であり、移項して \(x^2+y^2 \ge 2xy\) が成り立つ。

等号が成立するのは、\((x-y)^2=0\) のとき、すなわち \(x-y=0\) のときである。

よって、等号成立は \(x=y\) のときに限る。 [証明終]

この不等式は、後の相加・相乗平均の関係の証明の基礎となる重要なものです。

7.3. 相加平均と相乗平均の関係

これは、不等式の世界で最も有名で、かつ応用上も極めて重要な定理です。

相加平均と相乗平均の関係

\(a>0, b>0\) のとき、次の不等式が成り立つ。

fraca+b2gesqrtab

等号が成立するのは、\(a=b\) のときに限る。

ここで、\(\frac{a+b}{2}\) を \(a\) と \(b\) の相加平均 (Arithmetic Mean) と呼び、\(\sqrt{ab}\) を相乗平均 (Geometric Mean) と呼びます。この定理は、「2つの正の数の相加平均は、相乗平均以上である」と表現されます。

7.3.1. 定理の証明

この定理の証明には、いくつかの方法がありますが、ここでは最も基本的な平方を利用する方法を紹介します。

証明

\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) を示すには、両辺が正であることから、両辺を2乗した不等式 \((\frac{a+b}{2})^2 \ge (\sqrt{ab})^2\) を示しても同値です。

（なぜなら、\(X, Y\) がともに正のとき、\(X \ge Y \Leftrightarrow X^2 \ge Y^2\) が成り立つからです。この「両辺が正であることの確認」は、2乗して証明を進める際の重要なステップです。）

(左辺)² – (右辺)² を計算する。

(fraca+b2)2−(sqrtab)2=frac(a+b)24−ab

通分して計算を進めます。

=fraca2+2ab+b24−frac4ab4

=fraca2+2ab+b2−4ab4

=fraca2−2ab+b24

分子は平方の形に因数分解できます。

=frac(a−b)24

\((a-b)^2 \ge 0\) であり、分母の4も正なので、

frac(a−b)24ge0

よって、\((\frac{a+b}{2})^2 – (\sqrt{ab})^2 \ge 0\) が示されたので、\((\frac{a+b}{2})^2 \ge (\sqrt{ab})^2\) が成り立つ。

\(\frac{a+b}{2} > 0\) かつ \(\sqrt{ab} > 0\) なので、両辺の正の平方根をとっても大小関係は変わらない。

したがって、\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) が成り立つ。

等号が成立するのは、\(\frac{(a-b)^2}{4} = 0\) のとき、すなわち \(a-b=0\) のときである。

よって、等号成立は \(a=b\) のときに限る。 [証明終]

7.3.2. 定理の応用：最大・最小問題への活用

相加・相乗平均の関係は、しばしば \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) の形で用いられます。この形の意味するところは、「和が一定ならば、積は \(a=b\) のときに最大になる」、そして**「積が一定ならば、和は \(a=b\) のときに最小になる」**ということです。この性質が、最大・最小問題で威力を発揮します。

応用上の注意点：

  1. 正の数であること: この定理は、適用する対象が正の数でなければ使えません。問題文に条件がなくても、自分で文字が正であることを確認する必要があります。
  2. 積が定数になること（最小値を求める場合）: 和の最小値を求めるには、右辺の \(2\sqrt{ab}\) が定数になる必要があります。つまり、\(ab\) の積が定数になるような組み合わせを見つけることが鍵となります。
  3. 等号成立条件の確認: 不等式で最小値（または最大値）を求めた場合、その値が実際にとりうる値であることを示すために、等号が成立する条件が存在することを必ず確認しなければなりません。

例題：\(x > 0\) のとき、\(x+\frac{4}{x}\) の最小値を求めよ。また、そのときの \(x\) の値を求めよ。

思考プロセス:

  1. 正の数の確認: \(x>0\) という条件から、\(\frac{4}{x}\) も正です。したがって、\(x\) と \(\frac{4}{x}\) という二つの正の数に対して相加・相乗平均の関係を適用できます。
  2. 積の確認: \(x \cdot \frac{4}{x} = 4\) となり、積が定数になります。これは、この定理が有効に働く典型的なパターンです。
  3. 定理の適用:\(a=x, b=\frac{4}{x}\) として、相加・相乗平均の関係 \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) を適用します。x+frac4xge2sqrtxcdotfrac4xx+frac4xge2sqrt4x+frac4xge2cdot2=4これで、\(x+\frac{4}{x}\) は4以上であることがわかりました。つまり、最小値の候補は4です。
  4. 等号成立条件の確認:この最小値4をとるためには、等号が成立する必要があります。等号成立条件は \(a=b\) なので、\(x = \frac{4}{x}\)両辺に \(x\) を掛けて、\(x^2 = 4\)。\(x>0\) なので、\(x=2\)。\(x=2\) という正の実数が存在するので、最小値4は実際にとりうる値です。

解答

\(x>0\) より、\(\frac{4}{x}>0\) である。

よって、相加平均と相乗平均の関係より、

x+frac4xge2sqrtxcdotfrac4x=2sqrt4=4

等号が成立するのは \(x = \frac{4}{x}\) すなわち \(x^2=4\) のときである。

\(x>0\) より、等号成立は \(x=2\) のときに限る。

したがって、\(x+\frac{4}{x}\) は \(x=2\) のときに最小値 \(4\) をとる。

7.4. まとめ：大小関係を支配する強力なツール

不等式の証明は、式の値の符号を評価するという、代数的操作に新たな視点を加えます。

  • 差の符号を調べる: \(A>B\) を示す基本は \(A-B>0\) を示すことであり、そのために \((\text{実数})^2 \ge 0\) という性質を最大限に活用します。
  • 相加・相乗平均の関係: この定理は、単なる不等式証明のテクニックに留まらず、和と積という基本的な演算の間に潜む深い関係性を示唆しています。特に、逆数の和の形（\(x+\frac{k}{x}\)）の最小値を求める問題では、絶大な効果を発揮します。
  • 論理の厳密性: 不等式を用いる際には、「適用条件（正の数であること）」と「等号成立条件の確認」を怠らないことが、論理的に完璧な答案を作成する上で不可欠です。

不等式を自在に扱えるようになることは、関数の値域を評価したり、変数の取りうる範囲を限定したりと、より高度な数学的問題を解決するための視野を大きく広げてくれるでしょう。

8. 絶対値を含む不等式の証明

絶対値記号は、数直線上の原点からの距離を表す、数学における基本的ながら非常に重要な概念です。\(|a|\) は、\(a \ge 0\) のときは \(a\) そのもの、\(a < 0\) のときは \(-a\) となります。この「場合分け」を内包する性質から、絶対値を含む方程式や不等式は、しばしば複雑な様相を呈します。

このセクションでは、絶対値を含む不等式の証明に焦点を当てます。絶対値の扱いの基本は、定義に従って場合分けをすることですが、証明問題においては、より効率的でエレガントな手法が存在します。特に、絶対値の2乗の性質を利用する方法は、場合分けの煩雑さを回避し、計算を見通しよく進めるための強力な武器となります。また、三角不等式として知られる重要な不等式についても、その証明と意味を深く探求していきます。

8.1. 絶対値の性質と証明の基本方針

不等式証明で利用される絶対値の重要な性質は以下の通りです。これらはすべて、絶対値の定義から導かれます。

任意の実数 \(a, b\) について、

  1. \(|a| \ge 0\)
  2. \(|a| \ge a\) かつ \(|a| \ge -a\)
  3. \(|a|^2 = a^2\)
  4. \(|ab| = |a||b|\)
  5. \(|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}\) (ただし \(b \neq 0\))

これらの性質のうち、不等式証明で特に威力を発揮するのが性質3の \(|a|^2 = a^2\) です。絶対値記号は場合分けが必要で扱いにくいことが多いですが、2乗することでその記号を外すことができ、通常の整式の計算に持ち込むことが可能になります。

この性質を利用した証明の基本戦略は、相加・相乗平均の関係の証明でも見たように、**「両辺を2乗したものの差が0以上であること」**を示す方針です。

\(|A| \ge |B|\) の証明方針

  1. 両辺が0以上であることを確認する。（絶対値なので、\(|A| \ge 0, |B| \ge 0\) は常に成り立つ）
  2. \(|A|^2 – |B|^2 \ge 0\) を示す。
  3. 性質 \(|X|^2 = X^2\) を用いて、\(A^2 – B^2 \ge 0\) を示すことに帰着させる。
  4. \(A^2 – B^2\) を計算し、因数分解や平方完成などを用いて、その符号が常に0以上であることを示す。

この方法は、不等式の両辺がともに0以上であることが保証されている場合にのみ有効であることに注意が必要です。絶対値を含む不等式では、この条件が自然に満たされているため、非常に相性の良い手法となります。

8.2. 基本的な不等式の証明

例題：不等式 \(|a|+|b| \ge |a+b|\) を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。（三角不等式）

この不等式は「三角不等式」と呼ばれ、絶対値に関する最も重要な不等式の一つです。幾何学的には、三角形の2辺の長さの和が残りの1辺の長さ以上であるという事実（ベクトル \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を考えたとき、\(|\vec{a}|+|\vec{b}| \ge |\vec{a}+\vec{b}|\)）に対応しています。

証明

(左辺) \(=|a|+|b| \ge 0\), (右辺) \(=|a+b| \ge 0\) であるから、両辺を2乗したものの大小を比較してもよい。

(左辺)² – (右辺)² を計算する。

(∣a∣+∣b∣)2−∣a+b∣2

絶対値の性質 \(|X|^2=X^2\) と \(|X||Y|=|XY|\) を用いて式を変形する。

=(∣a∣2+2∣a∣∣b∣+∣b∣2)−(a+b)2

=(a2+2∣ab∣+b2)−(a2+2ab+b2)

\(a^2\) と \(b^2\) が打ち消し合う。

=2∣ab∣−2ab

=2(∣ab∣−ab)

ここで、絶対値の性質より、常に \(|X| \ge X\) が成り立つ。したがって、\(|ab| \ge ab\) であるから、

∣ab∣−abge0

よって、

2(∣ab∣−ab)ge0

以上より、\((|a|+|b|)^2 – |a+b|^2 \ge 0\) が示されたので、\((|a|+|b|)^2 \ge |a+b|^2\) が成り立つ。

\(|a|+|b|\) と \(|a+b|\) はともに0以上なので、両辺の0以上の平方根をとると、

∣a∣+∣b∣ge∣a+b∣

が成り立つ。

等号が成立するのは、\(2(|ab|-ab)=0\) のとき、すなわち \(|ab|=ab\) のときである。

絶対値とその中身が等しくなるのは、中身が0以上のときなので、等号成立条件は \(ab \ge 0\) である。

これは、\(a\) と \(b\) が同符号であるか、少なくとも一方が0であることを意味する。 [証明終]

【思考の深化：三角不等式のバリエーション】

この三角不等式には、いくつかのバリエーションがあります。

例えば、\(b\) を \(-b\) で置き換えると、\(|a|+|-b| \ge |a-b|\) となり、\(|-b|=|b|\) なので、

∣a∣+∣b∣ge∣a−b∣

という不等式も得られます。

また、\(|a| = |(a-b)+b|\) と見て、\(X=a-b, Y=b\) として三角不等式 \(|X+Y| \le |X|+|Y|\) を適用すると、

∣a∣le∣a−b∣+∣b∣

\(|b|\) を移項して、

∣a∣−∣b∣le∣a−b∣

という、差の絶対値に関する不等式も導かれます。これらをまとめて理解しておくと、絶対値に対する感覚がより鋭敏になります。

8.3. 応用問題

例題：不等式 \(\sqrt{x^2+y^2} \le |x|+|y| \le \sqrt{2(x^2+y^2)}\) を証明せよ。

この問題は、二つの不等式 \(\sqrt{x^2+y^2} \le |x|+|y|\) と \(|x|+|y| \le \sqrt{2(x^2+y^2)}\) を証明する必要があります。幾何学的には、原点から点(x,y)までの距離、マンハッタン距離（|x|+|y|）、そしてユークリッド距離の定数倍の関係を示しています。

8.3.1. 第一の不等式 \(\sqrt{x^2+y^2} \le |x|+|y|\) の証明

証明

両辺ともに0以上なので、両辺を2乗したものの差を考える。

(∣x∣+∣y∣)2−(sqrtx2+y2)2

=(∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2)−(x2+y2)

=(x2+2∣xy∣+y2)−(x2+y2)

=2∣xy∣

\(2|xy| \ge 0\) は常に成り立つ。

よって、\((|x|+|y|)^2 \ge (\sqrt{x^2+y^2})^2\) が成り立つ。

両辺はともに0以上なので、

∣x∣+∣y∣gesqrtx2+y2

が示された。 [証明終]

8.3.2. 第二の不等式 \(|x|+|y| \le \sqrt{2(x^2+y^2)}\) の証明

証明

これも両辺ともに0以上なので、両辺を2乗したものの差を考える。

今回は (右辺)² – (左辺)² を計算してみましょう。

sqrt2(x2+y2)2−(∣x∣+∣y∣)2

=2(x2+y2)−(∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2)

=2×2+2y2−(x2+2∣xy∣+y2)

=2×2+2y2−x2−2∣xy∣−y2

=x2+y2−2∣xy∣

ここで、\(|x|^2=x^2, |y|^2=y^2\) と書き直すと、

=∣x∣2−2∣x∣∣y∣+∣y∣2

これは平方の形に因数分解できる。

=(∣x∣−∣y∣)2

実数の平方は常に0以上であるから、\((|x|-|y|)^2 \ge 0\)。

よって、\({\sqrt{2(x^2+y^2)}}^2 – (|x|+|y|)^2 \ge 0\) が示されたので、\({\sqrt{2(x^2+y^2)}}^2 \ge (|x|+|y|)^2\) が成り立つ。

両辺はともに0以上なので、

sqrt2(x2+y2)ge∣x∣+∣y∣

が示された。 [証明終]

以上の二つの証明から、与えられた不等式全体が成り立つことが示されました。

8.4. まとめ：場合分けを回避する技術

絶対値を含む不等式の証明は、一見すると場合分けが必要で複雑に思えますが、適切な道具を用いることで、遥かに見通しよく解き進めることができます。

  • 2乗の利用: 不等式の両辺が0以上であることを確認した上で、**「両辺を2乗して差を取る」**という方針は、絶対値記号を外し、問題を整式の問題へと変換するための極めて有効な手法です。
  • 基本的な性質の活用: \(|a|^2=a^2\) や \(|ab|=|a||b|\)、そして \(|a| \ge a\) といった基本的な性質を自在に使いこなすことが、スムーズな式変形の鍵となります。
  • 三角不等式の重要性: \(|a|+|b| \ge |a+b|\) という関係は、数学の様々な分野（特にベクトルや複素数平面、大学レベルの解析学など）で基本的な役割を果たすため、その証明と意味をしっかりと理解しておくことが重要です。

絶対値の扱いに習熟することは、計算の正確性と速度を向上させるだけでなく、より抽象的な数学的概念を理解するための基礎体力を養うことに繋がります。

9. コーシー・シュワルツの不等式

これまで、相加・相乗平均の関係や三角不等式など、いくつかの強力な不等式を学んできました。このセクションでは、それらと並び称される、非常に応用範囲の広い重要な不等式「コーシー・シュワルツの不等式」を探求します。

この不等式は、一見すると複雑で抽象的に見えるかもしれませんが、その背景にはベクトルや2次関数といった、より馴染み深い概念との深いつながりがあります。この不等式の証明を複数の視点から理解することで、一つの数学的対象を多角的に捉えることの面白さと、異なる数学分野間の予期せぬ結びつきを体感することができます。コーシー・シュワルツの不等式は、単独で証明問題として出題されるだけでなく、最大・最小問題を解くための切り札としても機能する、非常に価値の高いツールです。

9.1. コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式（2変数の場合）

任意の実数 \(a, b, x, y\) について、次の不等式が成り立つ。

(a2+b2)(x2+y2)ge(ax+by)2

等号が成立するのは、\(ay=bx\) のときに限る。

この不等式は、変数の数を増やすことで一般化できます。

コーシー・シュワルツの不等式（n変数の場合）

任意の実数 \(a_1, \dots, a_n, x_1, \dots, x_n\) について、

(a_12+dots+a_n2)(x_12+dots+x_n2)ge(a_1x_1+dots+a_nx_n)2

等号が成立するのは、\(a_1:a_2:\dots:a_n = x_1:x_2:\dots:x_n\) のとき、すなわち、対応する成分の比がすべて等しいときに限る。（ただし、いずれかの \(x_i=0\) の場合は \(a_i=0\) のように解釈する）

高校数学の範囲では、主に2変数または3変数の場合が扱われます。

9.2. 証明：代数的なアプローチ

まずは、これまで学んできた不等式証明の基本戦略、すなわち「差を取って平方の形を作る」という代数的な方法で証明してみましょう。これは、ラグランジュの恒等式を利用する考え方と本質的に同じです。

証明（2変数の場合）

(左辺) – (右辺) を計算し、それが0以上であることを示す。

(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2

各項を展開します。

=(a2x2+a2y2+b2x2+b2y2)−(a2x2+2abxy+b2y2)

同類項を整理します。

=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2−a2x2−2abxy−b2y2

=a2y2+b2x2−2abxy

この式をよく見ると、\((ay)^2+(bx)^2-2(ay)(bx)\) の形をしていることに気づきます。これは平方の形に因数分解できます。

=(ay−bx)2

実数の平方は常に0以上であるから、

(ay−bx)2ge0

したがって、\((a^2+b^2)(x^2+y^2) – (ax+by)^2 \ge 0\) が示されたので、

(a2+b2)(x2+y2)ge(ax+by)2

が成り立つ。

等号が成立するのは、\((ay-bx)^2 = 0\) のとき、すなわち \(ay-bx=0 \Leftrightarrow ay=bx\) のときに限る。 [証明終]

この証明は非常に直接的であり、不等式証明の基本に忠実な方法です。

9.3. 証明：ベクトルを用いた幾何学的アプローチ

コーシー・シュワルツの不等式は、ベクトルを用いることで、その幾何学的な意味が非常に明確になります。このアプローチは、代数的な式変形の背後にある構造を理解する上で非常に有益です。

2つのベクトル \(\vec{p}=(a,b)\) と \(\vec{q}=(x,y)\) を考えます。

これらのベクトルの大きさ（ノルム）と内積は、次のように定義されます。

  • 大きさの2乗: \(|\vec{p}|^2 = a^2+b^2\), \(|\vec{q}|^2 = x^2+y^2\)
  • 内積: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = ax+by\)

これらの表現を用いると、コーシー・シュワルツの不等式の各辺は次のように書き換えられます。

  • 左辺: \((a^2+b^2)(x^2+y^2) = |\vec{p}|^2 |\vec{q}|^2\)
  • 右辺: \((ax+by)^2 = (\vec{p} \cdot \vec{q})^2\)

したがって、証明すべき不等式は、\(|\vec{p}|^2 |\vec{q}|^2 \ge (\vec{p} \cdot \vec{q})^2\) となります。

証明（ベクトルを用いる方法）

ベクトル \(\vec{p}=(a,b)\) と \(\vec{q}=(x,y)\) のなす角を \(\theta\) とします（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）。

内積の定義より、

vecpcdotvecq=∣vecp∣∣vecq∣costheta

この式の両辺を2乗すると、

(vecpcdotvecq)2=(∣vecp∣∣vecq∣costheta)2=∣vecp∣2∣vecq∣2cos2theta

ここで、\(\cos\theta\) の値の範囲は \(-1 \le \cos\theta \le 1\) なので、その2乗 \(\cos^2\theta\) の範囲は \(0 \le \cos^2\theta \le 1\) となります。

したがって、

(vecpcdotvecq)2=∣vecp∣2∣vecq∣2cos2thetale∣vecp∣2∣vecq∣2cdot1=∣vecp∣2∣vecq∣2

よって、\((\vec{p} \cdot \vec{q})^2 \le |\vec{p}|^2 |\vec{q}|^2\) が示されました。

これを成分で書き戻すと、\((ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2)\) となり、証明が完了します。

等号成立条件の考察:

等号が成立するのは、\(\cos^2\theta = 1\) のときです。

これは、\(\cos\theta = 1\) または \(\cos\theta = -1\) を意味し、幾何学的にはベクトル \(\vec{p}\) と \(\vec{q}\) が平行である（向きが同じか、真逆）ことを示します。

ベクトルが平行であるとは、一方が他方の実数倍で書けるということです。つまり、\(\vec{p} = k \vec{q}\) となる実数 \(k\) が存在するか、または \(\vec{q}=\vec{0}\) の場合です。（\(\vec{p}=\vec{0}\) の場合も自明に成り立ちます）

\((a,b)=k(x,y)=(kx,ky)\) とすると、成分を比較して \(a=kx, b=ky\) となります。

ここから \(k\) を消去すると、\(ay=kxy, bx=kxy\) となり、\(ay=bx\) が導かれます。

もし \(x=0\) ならば \(a=0\) となり、この場合も \(ay=0, bx=0\) で \(ay=bx\) が成り立ちます。

したがって、等号成立条件は \(ay=bx\) となり、代数的な証明と一致します。

このベクトルによる解釈は、不等式が持つ幾何学的な本質を明らかにし、なぜこのような関係が成り立つのかを直感的に理解させてくれます。

9.4. 応用：最大・最小問題

コーシー・シュワルツの不等式は、特定の制約条件下での最大値や最小値を求める問題で威力を発揮します。

例題：実数 \(x, y\) が \(x^2+y^2=2\) を満たすとき、\(2x+3y\) の最大値と最小値を求めよ。

思考プロセス:

  1. 式の形と不等式の対応:条件式が \(x^2+y^2=2\) で、最大・最小を求めたい式が \(2x+3y\) です。コーシー・シュワルツの不等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\) と見比べます。\(x^2+y^2\) の部分は条件式に、\(ax+by\) の部分は求めたい式に対応させることができそうです。
  2. 係数の設定:\(ax+by\) が \(2x+3y\) になるように、\(a=2, b=3\) と設定します。
  3. 不等式の適用:\(a=2, b=3\) としてコーシー・シュワルツの不等式を適用します。(22+32)(x2+y2)ge(2x+3y)2(4+9)(x2+y2)ge(2x+3y)213(x2+y2)ge(2x+3y)2
  4. 条件式の代入:条件 \(x^2+y^2=2\) を代入します。13cdot2ge(2x+3y)226ge(2x+3y)2
  5. 結論の導出:この不等式は、\((2x+3y)^2 \le 26\) を意味します。2乗が26以下であるということは、元の値はその平方根の間に収まるということです。−sqrt26le2x+3ylesqrt26これにより、\(2x+3y\) の最大値が \(\sqrt{26}\)、最小値が \(-\sqrt{26}\) であることがわかります。（等号成立条件を満たす \(x, y\) が存在することも確認できますが、ここでは省略します。）

このように、相加・相乗平均の関係が「積が一定のときの和の最小値」を求めるのに適しているのに対し、コーシー・シュワルツの不等式は「2乗の和が一定のときの1次式の最大・最小値」を求めるのに非常に適しています。

9.5. まとめ：多角的な視点から本質を掴む

コーシー・シュワルツの不等式は、その見た目の複雑さとは裏腹に、豊かな数学的背景を持つ美しい定理です。

  • 代数的証明: 差を取り平方の形を作るという、不等式証明の王道によって証明できます。
  • 幾何学的証明: ベクトルの内積という概念を用いることで、不等式の持つ幾何学的な意味（なす角と大きさの関係）が明らかになり、より直感的な理解が可能になります。
  • 応用上の威力: 条件付き最大・最小問題において、変数を消去することなく、式の構造を直接利用して解を導くための強力なツールとなります。

この不等式を学ぶことは、単に一つの定理を覚えること以上の意味を持ちます。それは、代数、幾何、ベクトルといった異なる数学の分野が、一つの美しい関係式のもとに結びついていることを実感し、数学の世界の統一性と奥深さを垣間見る絶好の機会なのです。

10. 比例式とその応用

比の概念は、日常生活から科学技術の分野まで、様々な場面で用いられる基本的ながら重要な考え方です。例えば、料理のレシピにおける調味料の比率、地図の縮尺、あるいは化学反応における物質量の比など、複数の量を比較し、その相対的な関係を表現するために「比」は不可欠です。

「比例式」とは、二つの比が等しいことを示す等式のことです。例えば、\(a:b = c:d\) といった形で表されます。この単純な等式には、対称性や斉次性といった美しい数学的性質が秘められており、それらを巧みに利用することで、一見複雑に見える計算をエレガントに解き明かすことができます。このセクションでは、比例式の基本的な性質と、それを応用した計算テクニック、特に「=k とおく」という発想法の有効性について学びます。

10.1. 比例式の基本性質

比例式 \(a:b = c:d\) は、分数で表現すると \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) （ただし \(b \neq 0, d \neq 0\)）と等価です。この分数表現から、比例式の基本的な性質が導かれます。

基本性質：\(a:b = c:d \Leftrightarrow ad = bc\)

これは、分数の等式 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) の両辺に \(bd\) を掛けることで得られます。

fracabtimesbd=fraccdtimesbdRightarrowad=bc

この「内側の項の積と外側の項の積は等しい」という性質は、比例式を扱う上での基本となります。

10.2. 比例式の計算手法：「=k」という発想

比例式や、\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) のように複数の比が等しい連比の式を扱う際に、非常に強力な手法が、その比の値を mộtつの文字 k で置く、という考え方です。

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k\) とおく

このようにおくことで、元の式を以下の3つの独立した等式に分解できます。

  • \(a = kx\)
  • \(b = ky\)
  • \(c = kz\)

この操作の最大の利点は、複数の変数 \(a, b, c\) を、ただ一つの変数 \(k\) と、別の変数の組 \(x, y, z\) を用いて表現できる点にあります。これにより、証明したい式や計算したい式にこれらを代入すると、多くの場合で \(k\) が約分されて消去されたり、式全体が \(k\) の式として整理されたりするため、見通しが格段に良くなります。この手法は、複数の変数の間の「関係性」だけが重要な問題において、その本質を抽出するための巧妙なテクニックです。

例題：\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \neq 0\) のとき、\(\frac{x+y+z}{2x-y+z}\) の値を求めよ。

思考プロセス:

この問題は、\(x, y, z\) の具体的な値は決まっていませんが、その「比」が決まっています。求めたい式の値は、この比にのみ依存して決まるはずです。そこで、「=k とおく」手法が威力を発揮します。

解答

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k\) とおく。

条件より \(k \neq 0\) である。

このとき、

\(x = 2k\)

\(y = 3k\)

\(z = 4k\)

と表すことができる。これらの式を、求めたい分数式に代入する。

(分子) \(= x+y+z = 2k+3k+4k = 9k\)

(分母) \(= 2x-y+z = 2(2k)-3k+4k = 4k-3k+4k = 5k\)

よって、求める式の値は、

frac9k5k

ここで、\(k \neq 0\) なので、分母と分子を \(k\) で約分することができる。

=frac95

したがって、式の値は \(\frac{9}{5}\) となります。

【ミニケーススタディ：なぜ k は消えるのか】

求めたい式 \(\frac{x+y+z}{2x-y+z}\) は、分子も分母も \(x, y, z\) の1次式です。このような、分子と分母の各項の次数がすべて等しい式を「斉次式（同次式）」と呼びます。比例式の条件 \(x=2k, y=3k, z=4k\) を斉次式に代入すると、各項から \(k\) の同じべき乗（この場合は \(k^1\)）が現れるため、必ず約分によって \(k\) を消去することができます。この構造を理解していると、自信を持って「=k とおく」手法を用いることができます。

10.3. 加比の理

比例式に関する有名な性質として「加比の理」があります。

加比の理

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) のとき、

fracab=fraccd=fraca+cb+d

が成り立つ。（ただし、\(b+d \neq 0\)）

これは、変数の数を増やした連比の場合にも拡張できます。

\(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\) のとき、

fraca_1b_1=dots=fraca_nb_n=fraca_1+a_2+dots+a_nb_1+b_2+dots+b_n

が成り立つ。（ただし、分母の和は0でないとする）

証明

加比の理は、「=k とおく」手法を用いることで簡単に証明できます。

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) とおくと、\(a=bk, c=dk\) となる。

このとき、

fraca+cb+d=fracbk+dkb+d

分子を \(k\) でくくると、

=frack(b+d)b+d

\(b+d \neq 0\) なので、\((b+d)\) で約分すると、

=k

よって、\(\frac{a+c}{b+d}\) の値も \(k\) に等しいことが示された。

したがって、\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}\) が成り立つ。 [証明終]

加比の理は、特定の形の値を求める際に直接利用できる便利な公式ですが、その証明で用いた「=k とおく」という考え方の方がより本質的で、応用範囲も広いといえます。

例題：\(x+y+z=0\) でないとき、\(\frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z}\) の値を求めよ。

解答

与えられた式の値を \(k\) とおく。

\(\frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z} = k\)

この式から、

  1. \(y+z = kx\)
  2. \(z+x = ky\)
  3. \(x+y = kz\)

これらの3つの式の辺々を足し合わせると、

(y+z)+(z+x)+(x+y)=kx+ky+kz

2(x+y+z)=k(x+y+z)

この等式を整理すると、

(k−2)(x+y+z)=0

この式が意味することは、「\(k-2=0\) または \(x+y+z=0\)」である。

問題の条件より、\(x+y+z \neq 0\) なので、

k−2=0

したがって、\(k=2\) となる。

求める値は2である。

【思考の罠：ゼロ除算の可能性】

上の解答では \(x+y+z \neq 0\) という条件がありましたが、もしこの条件がなかった場合、\(x+y+z=0\) の可能性も考慮しなければなりません。

もし \(x+y+z=0\) ならば、\(y+z = -x\) となります。

これを \(\frac{y+z}{x}\) に代入すると、\(\frac{-x}{x} = -1\) となります（ただし \(x \neq 0\)）。

同様に、\(\frac{z+x}{y}=-1\), \(\frac{x+y}{z}=-1\) となります。

したがって、この場合は式の値は \(-1\) となります。

問題を解く際には、分母が0になる可能性や、条件分岐の可能性を常に意識することが重要です。

10.4. まとめ：関係性をシンプルに表現する技術

比例式は、複数の変数間の相対的な関係を記述するものです。その扱いの核心は、複雑な関係性をよりシンプルな形に落とし込む発想にあります。

  • 「=k とおく」発想の普遍性: この手法は、比例式に関する問題の多くを解決に導く万能なツールです。複数の変数を一つのパラメータ \(k\) を介して結びつけることで、問題の構造を劇的に単純化します。
  • 斉次性の意識: なぜこの手法がうまく機能するのか、その背景にある「斉次性」という概念を理解しておくと、より深いレベルで問題を捉えることができます。
  • ゼロ除算への注意: 比例式を分数で扱う以上、分母が0にならないかという点には常に注意を払う必要があります。条件を慎重に吟味し、場合分けが必要かどうかを判断する能力が求められます。

比例式の扱いは、一見地味な計算テクニックに見えるかもしれません。しかし、その根底にあるのは、与えられた情報から変数の間の本質的な関係を抽出し、それを利用して問題を単純化するという、数学における極めて重要な問題解決の思想なのです。

Module 1：式と証明の総括：代数学の言語を制し、論理の礎を築く

本モジュール「式と証明」の旅を通じて、我々は数学という広大な世界を探求するための、最も基本的ながら最も強力な二つの道具を手に入れました。一つは、複雑な数式を自在に、そして正確に操るための「代数的操作能力」。もう一つは、ある主張が真であることを揺るぎない形で示すための「論理的証明能力」です。

3次式の展開から始まり、二項定理による一般化、剰余の定理や因数定理による整式の構造解析、分数式への拡張、そして恒等式の概念の確立に至るまで、私たちは代数学の「言語」を体系的に学んできました。これらの知識は、単なる個別の計算技術ではありません。それらは相互に連携し、未知の問題に対峙した際に、その構造を解き明かし、適切な形へと変形していくための思考の文法を形成します。

モジュールの後半では、その言語を用いて「等式」と「不等式」を証明するという、数学の核心的な営みに踏み込みました。等式証明の基本戦略、相加・相乗平均の関係やコーシー・シュワルツの不等式といった強力な定理、そして絶対値や比例式の巧みな扱い方を学ぶ中で、私たちは単に計算するだけでなく、「なぜそれが成り立つのか」を厳密に論じる作法を身につけました。証明とは、思考の足跡を他者にも検証可能な形で残す行為であり、知的誠実さの究極的な表現です。

ここで培われた能力は、数学IIの後続のテーマ、すなわち方程式論、図形、三角関数、指数・対数関数、そして微分・積分法を学ぶ上で、呼吸をするのと同じくらい自然で、不可欠な基礎となります。あらゆる場面で、式の意味を問い、論理の正しさを自問する姿勢こそが、難解な問題への突破口を開く鍵となるでしょう。このモジュールで築いた盤石な礎の上に、さらなる数学の壮麗な建築物を築き上げていってください。

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