【基礎物理(力学)】Module 1：運動の運動学的記述

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本モジュールの目的と構成

物理学、その中でも特に根幹をなす力学の世界へようこそ。この壮大な学問体系の探求は、すべての基本となる「運動の記述」から始まります。もし力学がひとつの言語であるならば、本モジュールで学ぶ内容は、その最も基本的な語彙と文法に相当します。物体の運動をいかにして客観的かつ定量的に表現するのか。この問いに対する明確な答えを提示することが、本モジュールの最大の目的です。私たちは、日常的な感覚や曖昧な言葉から脱却し、物理現象を数学という普遍的な言語で記述するための知的基盤を構築します。それは、複雑に見える現象の背後に潜む、シンプルで美しい法則性を解き明かすための第一歩に他なりません。

本モジュールは、以下の10の学習項目を通じて、運動を記述するための方法論を体系的に探求します。各項目は独立しているのではなく、前の項目で得た知識が次の項目を理解するための礎となるよう、論理的に連鎖しています。

物理量としてのベクトルとスカラーの区別: 物理量を「向き」の有無で分類する、力学の思考の原点を学びます。
位置、変位、道のりの厳密な定義: 物体が「どこにいるか」「どこへ動いたか」を、物理学の言葉で正確に定義し直します。
平均の速度と瞬間の速度の導出: 運動の「速さ」を、時間変化という観点から捉え、微分の概念へと繋がる「瞬間の速度」を理解します。
平均の加速度と瞬間の加速度の概念: 速度がどのように変化するか、その「変化率」である加速度を定義し、運動の変化を記述する能力を獲得します。
等加速度直線運動を支配する3公式: 最も基本的な運動モデルである等加速度直線運動を、3つの公式を用いて完全に記述する手法を習得します。
鉛直投射運動の運動学的分析: 地球の重力という身近な等加速度運動を、確立した公式を用いて分析します。
水平投射と斜方投射の成分分解による解析: 運動を成分に「分解」するという強力な思考ツールを手に入れ、平面上の運動を解析します。
運動のグラフ（v-t, x-t, a-t）の解釈と相互変換: 数式だけでなく、グラフという視覚的なツールを用いて運動を多角的に解釈する能力を養います。
相対速度のベクトル的合成と分解: 観測者の立場によって運動の記述がどう変わるかを理解し、相対的な運動をベクトルで処理する技術を学びます。
運動の記述における座標系設定の重要性: これまで学んだ知識を統合し、問題を解く上での戦略的な「視点」の定め方、すなわち座標系設定の重要性を探求します。

このモジュールを終えるとき、あなたは単に公式を暗記しただけの状態にはないでしょう。あなたは、あらゆる運動現象を前にしたとき、それを客観的な物理量に分解し、数学的な関係性として再構築するための知的「方法論」そのものを獲得しているはずです。この方法論こそが、これから続く力学のより深い世界、すなわち運動の「原因」を探る旅への、最も信頼できる羅針盤となるのです。

1. 物理量としてのベクトルとスカラーの区別

物理学の学習を始めるにあたり、私たちはまず、自然界の様々な量を記述するための基本的な「分類」から学ばなければなりません。それは、物理で扱う全ての数量、すなわち物理量を、スカラーとベクトルという二つのカテゴリーに大別することです。この区別は、単なる用語の定義に留まらず、力学をはじめとする物理学全体の思考の根幹をなす、極めて重要な概念です。なぜなら、この区別を曖昧にしたままでは、運動や力の法則を正確に理解し、適用することが不可能になるからです。

1.1. スカラー量：大きさのみで記述される量

最初に、より直感的に理解しやすいスカラー量から見ていきましょう。

スカラー (scalar) とは、**大きさ（magnitude）**のみで完全に記述される物理量を指します。向きの概念を持たず、その量を示す数値だけで情報が完結します。私たちは日常生活の中で、すでに多くのスカラー量を無意識に扱っています。

例えば、「気温は25℃だ」という情報について考えてみましょう。この「25℃」という数値は、温度の大きさを示しており、これだけで情報として十分です。ここに「上向きに25℃」や「西向きに25℃」といった向きの情報を加えることに意味はありません。同様に、自分の質量が60kgであること、時計が10時を指しているという時刻、物体の長さが3mであること、ペットボトルの体積が2Lであること、これらはすべてスカラー量です。

物理学で登場する主なスカラー量の例を以下に挙げます。

質量 (mass): 物体の「動きにくさ」や、物質そのものの量を表す量。単位はキログラム (kg)。
長さ・距離 (length, distance): 二点間の隔たり。単位はメートル (m)。
時間・時刻 (time): 出来事の間隔や、ある瞬間。単位は秒 (s)。
温度 (temperature): 物質の熱的な状態を示す尺度。単位はケルビン (K) や摂氏 (℃)。
エネルギー (energy): 仕事をする能力。後ほど詳しく学びますが、運動エネルギーや位置エネルギーもスカラーです。単位はジュール (J)。
仕事 (work): 物体に力が作用して変位したときに定義される量。これもスカラーです。単位はジュール (J)。
速さ (speed): 物体がどれだけ速く動いているかを示す割合。単位はメートル毎秒 (m/s)。後述する「速度」と明確に区別する必要があります。

スカラー量の計算は、私たちが小学校以来慣れ親しんできた算数や代数のルールにそのまま従います。例えば、2kgの物体と3kgの物体を合わせれば、合計の質量は単純な足し算で 2 + 3 = 5kg となります。ここに複雑なルールは介在しません。この単純さがスカラー量の特徴です。

1.2. ベクトル量：大きさと向きを併せ持つ量

次に、物理学、特に力学において中心的な役割を果たすベクトル量について解説します。

ベクトル (vector) とは、**大きさと向き（direction）**の両方を持って初めて完全に記述される物理量を指します。大きさだけの情報では不十分であり、「どちらの向きに」という情報が不可欠となります。

例えば、「風が吹いている」という状況を考えてみましょう。「風の強さは秒速5mだ」という情報だけでは、その現象を十分に記述したことにはなりません。洗濯物が東になびいているのか、西になびいているのかによって、状況は全く異なります。したがって、「南西の向きに、秒速5mの風が吹いている」というように、大きさと向きをセットで表現する必要があります。このような量がベクトルです。

ベクトルを視覚的に表現する際には、矢印が用いられます。

矢印の長さが、ベクトルの大きさを表します。
矢印の向きが、ベクトルの向きを表します。

この矢印による表現は、ベクトルの概念を直感的に理解する上で非常に強力なツールとなります。

物理学で登場する主なベクトル量の例は以下の通りです。

変位 (displacement): 物体の位置の変化。どの向きにどれだけ移動したかを示します。単位はメートル (m)。
速度 (velocity): 物体の単位時間あたりの変位。どの向きにどれだけ速く進んでいるかを示します。単位はメートル毎秒 (m/s)。
加速度 (acceleration): 速度の単位時間あたりの変化。速度がどの向きにどれだけ変化したかを示します。単位はメートル毎秒毎秒 (\(\text{m/s}^2\))。
力 (force): 物体を加速させたり、変形させたりする作用。どの向きにどれだけの大きさで作用するかを示します。単位はニュートン (N)。
運動量 (momentum): 物体の運動の勢いを示す量。質量と速度の積で定義され、速度と同じ向きを持ちます。単位はキログラムメートル毎秒 (kg·m/s)。

1.3. なぜこの区別が力学の出発点として重要なのか？

スカラーとベクトルの区別は、単なる言葉の分類ではありません。この区別こそが、物理現象を正しくモデル化し、数学的に解析するための論理的な第一歩だからです。

1. 現実世界の忠実な記述:

私たちの周りで起こる運動は、本質的に空間的な変化を伴います。ボールはただ「速く」動くのではなく、「上向きに」あるいは「水平方向に」速く動きます。物体にはただ「力が加わる」のではなく、「下向きに」重力が加わり、「斜め上向きに」誰かが引っ張る力が加わります。このように、現実の物理現象の多くは「向き」という情報を内包しています。ベクトルという概念は、この「向き」を数学的に取り扱うことを可能にし、現実世界をより忠実に、かつ定量的に記述するための言語なのです。スカラーだけで力学を語ろうとすることは、向きの概念がない一次元の世界（直線上）だけで物事を考えることに等しく、極めて限定的な状況しか扱えません。

2. 計算ルールの違い:

スカラー量の計算が単純な代数和であったのに対し、ベクトル量の計算は全く異なるルールに従います。これをベクトル演算と呼びます。例えば、2Nの力と3Nの力を同じ点に加えた場合、合わさった力の大きさは、必ずしも 2 + 3 = 5N になるとは限りません。

もし二つの力が同じ向きなら、大きさは 5N になります。
もし二つの力が逆向きなら、大きさは |2 – 3| = 1N になります。
もし二つの力が直角をなす向きなら、大きさは三平方の定理から \(\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.6\text{N}\) となります。

このように、ベクトルの和（合成）は、それぞれのベクトルの向きを考慮した「幾何学的な和」でなければなりません。この計算規則の違いを理解せずに物理の問題に取り組むことは、根本的な文法を間違えたまま文章を書こうとするようなものであり、正しい結論に到達することは決してありません。

3. 思考の明確化:

ある物理量がベクトルなのかスカラーなのかを常に意識することは、物理的な思考プロセスを明確にする上で極めて重要です。例えば、「速度」と「速さ」を混同していると、運動の向きが変化する運動（例えば円運動）において、速度は変化し続けている（向きが変わるため）にもかかわらず、速さは一定である、という状況を正しく理解できません。速度が変化している以上、そこには必ず加速度が存在します。この論理的な連鎖を正しく追うためには、出発点となる各物理量の性質（スカラーか、ベクトルか）を正確に把握しておく必要があるのです。

このモジュールの冒頭でこの区別を学ぶのは、これから登場するすべての物理量（変位、速度、加速度、力など）を、この「スカラー or ベクトル」というフィルターを通して見る習慣を身につけてもらうためです。この習慣こそが、複雑な力学現象を解き明かすための、最も基本的かつ強力な思考の土台となります。

2. 位置、変位、道のりの厳密な定義

物体の運動を記述する、という目的の第一歩は、その物体が「いつ、どこにいるか」を表現することです。日常会話では「あそこにある」や「少し動いた」といった曖昧な表現で事足りますが、物理学では、これらの概念を誰にとっても一意に定まる、客観的で定量的な言葉で定義し直す必要があります。ここで登場するのが「位置」「変位」「道のり」という三つの重要な物理量です。これらを厳密に区別し、定義を理解することが、運動学の正確な理解に向けた基礎となります。

2.1. 位置 (Position)：基準点からのアドレス

物体が「どこにいるか」を示すのが位置です。しかし、単に「ここ」と言っても、それがどこなのかは他者には伝わりません。位置を客観的に示すためには、必ず基準点（原点 O）と、そこからの方向を示す座標軸が必要になります。

位置ベクトル (Position Vector)

物理学では、物体の位置を原点 O からその物体の場所 P まで引いたベクトル \(\vec{r}\) で表します。これを位置ベクトルと呼びます。

一次元（直線）上の運動:直線上の運動を考える場合、まず直線上に原点 O と、正の向き（例えば右向き）を定めます。ある点 P の位置は、原点からの距離と向き（符号）で表され、通常はスカラー量 \(x\) で表現されます。例えば、\(x = +5\text{m}\) は「原点から正の向きに 5m の点」を意味し、\(x = -3\text{m}\) は「原点から負の向きに 3m の点」を意味します。このスカラー \(x\) を座標と呼びます。
二次元（平面）や三次元（空間）の運動:平面上の運動では、互いに直交するx軸とy軸を設置し、原点 O(0, 0) を定めます。点 P の位置は、座標の組 \((x, y)\) で指定されます。そして、この位置は原点 O から点 P へ引いた位置ベクトル \(\vec{r} = (x, y)\) によって一意に定まります。このベクトルの大きさ \(|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) は原点からの直線距離を、その向きは原点から見た方角を示します。

このように、位置とは「座標系における物体の住所（アドレス）」のようなものです。そして、その住所をベクトルで表現したものが位置ベクトルです。重要なのは、位置を語るためには、まず座標系を設定しなければ始まらないということです。

2.2. 変位 (Displacement)：位置の「変化」を表すベクトル

物体が運動すると、その位置は変化します。この「位置の変化」を捉える物理量が変位です。変位は、運動の始点と終点のみに注目し、その間の経路には一切関知しません。

変位の定義

ある時刻 \(t_1\) に物体が位置 \(\vec{r}_1\) にあり、後の時刻 \(t_2\) に位置 \(\vec{r}_2\) へ移動したとします。このとき、物体の変位 (Displacement) \(\Delta \vec{r}\) は、始点の位置ベクトルと終点の位置ベクトルの差として定義されます。

\[ \Delta \vec{r} = \vec{r}_2 – \vec{r}_1 \]

ここで \(\Delta\) (デルタ) は、物理学で「変化量」を表すためによく使われる記号です。つまり、変位とは「位置ベクトルの変化量」に他なりません。

ベクトルの引き算の定義から、この式は \(\vec{r}_1 + \Delta \vec{r} = \vec{r}_2\) と書き換えられます。これは、「始点の位置 \(\vec{r}_1\) から、変位ベクトル \(\Delta \vec{r}\) の分だけ移動すると、終点の位置 \(\vec{r}_2\) に到達する」ということを意味します。したがって、変位ベクトル \(\Delta \vec{r}\) は、運動の始点から終点に向かってまっすぐに引いた矢印として図示されます。

変位はベクトル量である

この定義から明らかなように、変位は大きさと向きを持つベクトル量です。

大きさ: 始点と終点の間の直線距離。
向き: 始点から終点へ向かう向き。

例えば、あなたが家の机（始点）から、5m離れた本棚（終点）まで歩いたとします。このときのあなたの変位は、「本棚の向きに、大きさ 5m」のベクトルとなります。

2.3. 道のり (Distance / Path Length)：実際に動いた経路の長さ

変位が始点と終点だけを結ぶ最短距離であったのに対し、道のり（あるいは移動距離）は、物体が実際にたどった経路全体の長さを指します。

道のりはスカラー量である

道のりは経路の「長さ」そのものであり、向きの概念を含みません。したがって、道のりはスカラー量です。

先ほどの例で考えてみましょう。机から本棚へ行くのに、まっすぐ向かえば、変位の大きさも道のりも共に 5m です。しかし、途中で床に落ちたペンを拾うために少し寄り道をしてから本棚へ向かったとします。この場合でも、始点（机）と終点（本棚）は変わらないので、変位は「本棚の向きに、大きさ 5m」のままです。しかし、実際に歩いた道のりは、寄り道した分だけ 5m よりも長くなります（例えば 6.5m）。

2.4. 具体例による変位と道のりの徹底比較

この三つの概念、特に変位と道のりの違いを明確に理解するために、いくつかの具体例を見ていきましょう。

例1：直線上での往復運動

一直線上の座標を考えます。ある人が原点 O (\(x=0\)) から出発し、\(x = +100\text{m}\) の地点 A まで進み、その後向きを変えて \(x = +60\text{m}\) の地点 B まで戻ってきたとします。

位置:
- 始点の位置： \(x_O = 0\text{m}\)
- 折り返し点の位置： \(x_A = +100\text{m}\)
- 終点の位置： \(x_B = +60\text{m}\)
変位:変位は、始点 O から終点 B への位置の変化です。\( \Delta x = x_B – x_O = (+60\text{m}) – (0\text{m}) = +60\text{m} \)これは、「正の向きに 60m」移動したことを意味するベクトル的な量です（一次元なので符号で向きを表しています）。
道のり:道のりは、実際に移動した経路の全長です。OからAまで 100m、AからBまで 40m 移動したので、道のり = \(100\text{m} + 40\text{m} = 140\text{m}\)

この例から、変位 (60m) と道のり (140m) が全く異なる値になることが明確にわかります。物理では、この二つを混同すると致命的な誤りを犯します。

例2：円周上の運動

半径 \(R\) の円形のトラックを考えます。あるランナーがトラック上の点 P からスタートし、トラックをちょうど半周して真裏の点 Q まで走ったとします。

変位:始点は P、終点は Q です。変位は P から Q までまっすぐに引いた線分、つまり円の直径に相当します。
- 変位の大きさ： \(2R\)
- 変位の向き： P から Q へ向かう向き
道のり:実際に走った経路は円周の半分です。
- 道のり： \(\pi R\)

この場合も、変位の大きさ \(2R\) と道のり \(\pi R\) は異なります (\(\pi \approx 3.14\) なので、道のりの方が長い)。もしランナーがトラックをちょうど一周して元の点 P に戻ってきた場合、始点と終点が同じになるため、変位はゼロになります。しかし、走った道のりは円周の長さ \(2\pi R\) です。

2.5. なぜ「変位」が物理学でより根本的なのか？

道のりは私たちの日常感覚に近いですが、物理学、特にこれから学ぶ速度や加速度の定義においては、変位がより根本的な役割を果たします。その理由は、物理学が物体の状態の変化を記述する学問だからです。

変位は、まさしく「位置という状態がどれだけ変化したか」を直接的に示すベクトル量です。一方、道のりは途中の運動の様子を長さとして累積したものですが、最終的に物体がどこへ移動したのか、という核心的な情報（向き）が抜け落ちています。

後のセクションで定義する速度 (velocity) は、この「変位」を時間で割ることによって定義されます。もしここで道のりを使ってしまうと、それは向きの情報を持たない速さ (speed) という別の量になってしまいます。力学の法則は、基本的にベクトル量である力、速度、加速度の間の関係を記述するものです。したがって、その出発点となる位置の変化もまた、ベクトル量である変位として捉えることが、論理的な一貫性を保つ上で不可欠なのです。

「位置」「変位」「道のり」を正確に使い分けること。それは、物理という言語の最も基本的な文法規則を習得することに他なりません。

3. 平均の速度と瞬間の速度の導出

物体の運動を記述する上で、「どこにいるか（位置）」の次に重要な問いは、「どれくらい速く動いているか」です。この「速さ」の概念を物理学的に厳密に定義したものが速度 (velocity) と速さ (speed) です。さらに、速度の概念は、ある時間区間全体で平均化した「平均の速度」と、ある一瞬における「瞬間の速度」に分けられます。特に「瞬間の速度」の概念は、微分という数学的なツールと深く結びついており、力学の理論的根幹を支える極めて重要な考え方です。

3.1. 「速度」と「速さ」の厳密な区別

まず、日常会話ではしばしば混同される「速度」と「速さ」を、物理学の用語として明確に区別することから始めましょう。この区別は、セクション1で学んだベクトルとスカラーの区別に直結しています。

速度 (Velocity): ベクトル量です。物体の運動の向きと速さの両方を含みます。単位時間あたりの変位として定義されます。
速さ (Speed): スカラー量です。物体の運動の向きは含まず、純粋にどれだけ速く動いているかの大きさのみを表します。単位時間あたりの**道のり（移動距離）**として定義されます。

車のスピードメーターが示すのは「時速60km」といった「速さ」です。これはスカラー量であり、車が北へ向かっていようと南へ向かっていようと、メーターの示す値は同じです。しかし、物理学者が語る「速度」は、「北向きに時速60km」のように、向きの情報を含んでいなければなりません。したがって、カーブを曲がっている車は、スピードメーターの表示（速さ）が一定でも、進行方向が刻一刻と変わるため、速度は常に変化していることになります。この違いを認識することが、本セクションの理解の前提となります。

3.2. 平均の速度 (Average Velocity)

平均の速度とは、ある有限の時間の区間における、平均的な位置の変化率のことです。

定義

時刻 \(t_1\) に位置 \(\vec{r}_1\) にいた物体が、時刻 \(t_2\) に位置 \(\vec{r}_2\) へ移動したとします。この時間区間 \(\Delta t = t_2 – t_1\) の間に、物体の変位は \(\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 – \vec{r}_1\) でした。

このとき、平均の速度 \(\bar{\vec{v}}\) は、変位を所要時間で割ったものとして定義されます。

\[ \bar{\vec{v}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}_2 – \vec{r}_1}{t_2 – t_1} \]

ここで、上についた横棒（バー）は「平均」を意味する記号です。

この定義から、以下の重要な性質が導かれます。

平均の速度はベクトル量: 変位 \(\Delta \vec{r}\) がベクトルであるため、それを正のスカラーである \(\Delta t\) で割った \(\bar{\vec{v}}\) もまたベクトルです。
平均の速度の向き: その向きは、変位ベクトル \(\Delta \vec{r}\) の向き、すなわち始点と終点を結ぶ直線の向きと完全に一致します。

具体例：マラソンランナー

42.195kmのマラソンを2時間10分30秒で完走したランナーを考えます。スタート地点とゴール地点は競技場内のほぼ同じ場所だとします。

平均の速さ:まず、日常的な感覚に近い「平均の速さ」を計算してみましょう。これは、総移動距離（道のり）を総所要時間で割ることで求められます。道のり = 42.195 km = 42195 m所要時間 = 2時間10分30秒 = 7200s + 600s + 30s = 7830 s平均の速さ = \(\frac{42195 \text{ m}}{7830 \text{ s}} \approx 5.39 \text{ m/s}\)
平均の速度:一方、平均の速度を計算するには変位が必要です。スタート地点とゴール地点が同じであれば、始点と終点が一致するため、変位はゼロです。変位 = 0 mしたがって、平均の速度 = \(\frac{0 \text{ m}}{7830 \text{ s}} = 0 \text{ m/s}\)

このように、ランナーは平均して約 5.4 m/s という大変な速さで走り続けていたにもかかわらず、一周して戻ってきた運動全体の平均の速度はゼロとなってしまいます。これは、平均の速度が途中の経路を全く考慮せず、最初と最後の位置関係のみに注目する量であることを端的に示しています。この例からも、物理学における「速度」と日常的な「速さ」の概念がいかに異なるかが理解できるでしょう。

3.3. 瞬間の速度 (Instantaneous Velocity) の導出

平均の速度は、ある程度の時間幅を持った区間での大雑把な運動の様子しか教えてくれません。マラソンランナーの平均の速度がゼロだからといって、彼がレース中にずっと止まっていたわけではないことは明らかです。私たちが本当に知りたいのは、多くの場合、「ある瞬間、その瞬間に」物体がどの向きにどれだけの速さで動いているか、ということです。これが瞬間の速度の概念です。

思考のプロセス：極限への移行

瞬間の速度は、平均の速度の概念から、「極限」という数学的な操作を通じて導き出されます。

まず、ある時刻 \(t\) の瞬間の速度を知りたいと考えます。
この時刻 \(t\) を含む、非常に短い時間区間 \(\Delta t\) を設定します。つまり、時刻 \(t\) から時刻 \(t + \Delta t\) までの区間です。
この短い区間における平均の速度を計算します。\[ \bar{\vec{v}} = \frac{\vec{r}(t + \Delta t) – \vec{r}(t)}{\Delta t} \]ここで、\(\vec{r}(t)\) は時刻 \(t\) における位置ベクトルを表す関数です。
ここが核心部分です。この時間区間 \(\Delta t\) を、限りなくゼロに近づけていきます。\(\Delta t \to 0\) という極限をとるのです。

時間間隔 \(\Delta t\) が小さくなればなるほど、始点と終点はどんどん近づいていき、その間の平均の速度は、時刻 \(t\) という「一点」における速度の状態をより正確に反映するようになります。そして、\(\Delta t\) が実質的にゼロと見なせるほど小さくなった極限において、この平均の速度が到達する値、それが時刻 \(t\) における瞬間の速度 \(\vec{v}(t)\) です。

数学的定義：微分

この「\(\Delta t \to 0\) の極限をとる」という操作は、数学における微分 (differentiation) の定義そのものです。したがって、瞬間の速度は、位置ベクトル \(\vec{r}(t)\) の時間 \(t\) に関する導関数 (derivative) として、次のように厳密に定義されます。

\[ \vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) – \vec{r}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} \]

この式は、物理学において最も重要な関係式の一つです。これは、**「速度とは、位置の時間的な変化率である」**という物理的な意味を、微分の言語で見事に表現しています。

瞬間の速さ (Instantaneous Speed)

瞬間の速度 \(\vec{v}(t)\) が定義されると、瞬間の速さは、その瞬間の速度ベクトルの大きさとして定義されます。

\[ (\text{瞬間の速さ}) = |\vec{v}(t)| = \left| \frac{d\vec{r}}{dt} \right| \]

これは、私たちが普段車のスピードメーターで目にしている数値に相当します。物理学で単に「速度」と言った場合は、通常この「瞬間の速度」を指します。

3.4. グラフによる解釈

これらの概念は、位置-時間グラフ（x-tグラフ）を用いると、より視覚的に理解することができます。ここでは一次元（直線）上の運動を考え、縦軸に位置 \(x\)、横軸に時間 \(t\) をとります。

平均の速度とグラフ:時刻 \(t_1\)（位置 \(x_1\)）と時刻 \(t_2\)（位置 \(x_2\)）の間の平均の速度は、\(\bar{v} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1}\) です。これは、x-tグラフ上の2点 \((t_1, x_1)\) と \((t_2, x_2)\) を結ぶ直線の傾き（変化の割合）に他なりません。この直線を割線 (secant line) と呼びます。
瞬間の速度とグラフ:瞬間の速度は、この時間間隔 \(\Delta t = t_2 – t_1\) をゼロに近づけたときの極限でした。グラフ上では、これは点 \((t_2, x_2)\) を点 \((t_1, x_1)\) に沿って限りなく近づけていく操作に相当します。すると、2点を結んでいた割線は、やがて点 \((t_1, x_1)\) において曲線に接する一本の直線、すなわち接線 (tangent line) になります。したがって、時刻 \(t\) における瞬間の速度は、x-tグラフ上の点 \((t, x(t))\) における接線の傾きとして幾何学的に解釈できます。

このグラフによる解釈は、微分の幾何学的な意味（接線の傾き）と物理的な概念（瞬間の速度）が美しく対応していることを示しています。傾きが急であればあるほど速度は大きく、傾きが負であれば負の向きに進んでいることを意味します。そして、グラフの頂点（極大点や極小点）では接線の傾きがゼロになるため、その瞬間、物体の速度はゼロになり、運動の向きを転換することを示唆します。

このように、平均の速度から瞬間の速度への移行は、大雑把な記述から厳密な記述への深化であり、物理学が現象の核心に迫るために「極限」や「微分」といった数学的思考をいかに巧みに利用するかを示す、最初の重要な一例なのです。

4. 平均の加速度と瞬間の加速度の概念

物体の運動において、速度が常に一定であるとは限りません。むしろ、日常生活で目にする運動のほとんどは、速度が変化する運動です。発進する電車、カーブを曲がる車、空中に投げ上げられたボール。これらの運動を記述するためには、速度が「どのように変化しているか」を定量化する新しい物理量が必要になります。それが加速度 (acceleration) です。

速度の概念が「平均」と「瞬間」に分けられたのと全く同じ論理構造で、加速度もまた平均の加速度と瞬間の加速度に分けて考えることができます。このセクションでは、速度の変化率としての加速度の概念を確立し、力学の根幹である運動方程式へとつながる道筋を明らかにします。

4.1. 加速度の基本的な役割：速度を変化させるもの

加速度とは、一言で言えば**「速度の変化の度合い」**を示す物理量です。重要なのは、ここで言う「速度」がベクトル量であるということです。したがって、速度の変化には三つのパターンが考えられます。

速さが変わる（大きさの変化）: 直線道路を走る車がアクセルを踏んでスピードアップしたり、ブレーキをかけてスピードダウンしたりする場合。
向きが変わる（向きの変化）: 一定の速さでカーブを曲がる場合。速さ（スカラー）は変わらなくても、進行方向（ベクトルとしての向き）が変化し続けているため、速度は変化しています。
速さと向きが両方変わる: カーブを曲がりながら加速するような、より一般的な運動。

これらすべてのケースにおいて、物体には加速度が生じています。加速度が存在するとは、すなわち速度ベクトルが何らかの形で変化していることを意味し、逆に言えば、加速度がゼロであるとは、速度ベクトルが時間的に全く変化しない（等速直線運動をしている）ことを意味します。この点が、加速度を理解する上での最初の重要なポイントです。

4.2. 平均の加速度 (Average Acceleration)

平均の加速度は、ある有限の時間区間における、平均的な速度の変化率として定義されます。これは、平均の速度の定義と完全に対応しています。

定義

時刻 \(t_1\) に速度 \(\vec{v}_1\) で運動していた物体が、時刻 \(t_2\) には速度 \(\vec{v}_2\) に変化したとします。この時間区間 \(\Delta t = t_2 – t_1\) の間に、物体の速度は \(\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 – \vec{v}_1\) だけ変化しました。

このとき、平均の加速度 \(\bar{\vec{a}}\) は、速度の変化を所要時間で割ったものとして定義されます。

\[ \bar{\vec{a}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_2 – \vec{v}_1}{t_2 – t_1} \]

この定義から、以下の性質がわかります。

平均の加速度はベクトル量: 速度の変化 \(\Delta \vec{v}\) がベクトルであるため、それを正のスカラー \(\Delta t\) で割った \(\bar{\vec{a}}\) もまたベクトルです。
平均の加速度の向き: その向きは、速度変化ベクトル \(\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 – \vec{v}_1\) の向きと完全に一致します。

具体例：自動車の加速

ある自動車が、東向きに 10 m/s (\(\vec{v}_1\)) で走行していましたが、4.0秒後 (\(\Delta t\)) には同じく東向きに 22 m/s (\(\vec{v}_2\)) まで加速しました。

速度の変化 \(\Delta \vec{v}\) を計算します。向きが同じなので、大きさの差を考えればよく、\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 – \vec{v}_1\) の大きさは \(22 \text{ m/s} – 10 \text{ m/s} = 12 \text{ m/s}\) となります。向きは東向きです。
平均の加速度 \(\bar{\vec{a}}\) を計算します。\(\bar{\vec{a}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{12 \text{ m/s (東向き)}}{4.0 \text{ s}} = 3.0 \text{ m/s}^2 \text{ (東向き)}\)

この結果は、「この車は平均して、1秒あたり3.0 m/s ずつ東向きに速度を増していた」ということを意味します。単位が \(\text{m/s/s}\) すなわち \(\text{m/s}^2\) となる点に注意してください。

注意点：加速度の向き

加速というと、日常的には「スピードアップ」すること、つまり速度と同じ向きの加速度をイメージしがちです。しかし、物理学における加速度はより広い概念です。

減速する場合: もし車が東向きに 22 m/s から 10 m/s に減速した場合、\(\Delta \vec{v}\) は \(10 – 22 = -12 \text{ m/s}\)（西向きに 12 m/s）となります。したがって、平均の加速度は西向き（運動方向と逆向き）になります。
向きが変わる場合: もし車が北向きに 10 m/s で走り始め、数秒後に東向きに 10 m/s で走っていた場合、速さは同じですが速度ベクトルは変化しています。この場合、速度変化ベクトル \(\Delta \vec{v} = \vec{v}{東} – \vec{v}{北}\) は南東方向を向きます。したがって、加速度は南東方向を向くことになります。これは、カーブを曲がるためには、内側に向かう加速度（後のモジュールで学ぶ向心加速度）が必要であることを示唆しています。

4.3. 瞬間の加速度 (Instantaneous Acceleration) の導出

平均の加速度もまた、ある区間での大雑把な変化しか示しません。物理法則、特にニュートンの運動方程式で問題になるのは、「ある瞬間、その瞬間に」速度がどのように変化しているか、すなわち瞬間の加速度です。

その導出の論理は、瞬間の速度の導出と全く同じです。

ある時刻 \(t\) の瞬間の加速度を知りたいと考えます。
この時刻 \(t\) を含む、非常に短い時間区間 \(\Delta t\) を設定します。
この短い区間における平均の加速度を計算します。\[ \bar{\vec{a}} = \frac{\vec{v}(t + \Delta t) – \vec{v}(t)}{\Delta t} \]
この時間区間 \(\Delta t\) を、限りなくゼロに近づける極限 (\(\Delta t \to 0\)) をとります。

この極限値が、時刻 \(t\) における瞬間の加速度 \(\vec{a}(t)\) となります。

数学的定義：二階微分

この極限操作は、速度 \(\vec{v}(t)\) の時間 \(t\) に関する微分に他なりません。

\[ \vec{a}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{v}(t + \Delta t) – \vec{v}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} \]

この式は、**「加速度とは、速度の時間的な変化率である」**という物理的な意味を数学的に表現したものです。

さらに、速度 \(\vec{v}\) 自体が位置 \(\vec{r}\) の時間微分 (\(\vec{v} = d\vec{r}/dt\)) であったことを思い出すと、加速度は位置 \(\vec{r}\) を時間で二回微分したものであると表現できます。

\[ \vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{d\vec{r}}{dt} \right) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \]

物理学で単に「加速度」と言った場合は、通常この「瞬間の加速度」を指します。

4.4. グラフによる解釈

加速度の概念も、速度-時間グラフ（v-tグラフ）を用いることで視覚的に理解が深まります。ここでは一次元（直線）上の運動を考え、縦軸に速度 \(v\)、横軸に時間 \(t\) をとります。

平均の加速度とグラフ:時刻 \(t_1\)（速度 \(v_1\)）と時刻 \(t_2\)（速度 \(v_2\)）の間の平均の加速度は、\(\bar{a} = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1}\) です。これは、v-tグラフ上の2点 \((t_1, v_1)\) と \((t_2, v_2)\) を結ぶ直線の傾きに一致します。
瞬間の加速度とグラフ:瞬間の加速度は、時間間隔 \(\Delta t\) をゼロに近づけた極限でした。グラフ上では、これは2点を結ぶ割線が、やがて1点における接線になる過程に対応します。したがって、時刻 \(t\) における瞬間の加速度は、v-tグラフ上の点 \((t, v(t))\) における接線の傾きとして幾何学的に解釈できます。

この関係は非常に重要です。

v-tグラフが右上がりの直線であれば、傾きは正で一定なので、物体は正の一定の加速度で運動しています。
v-tグラフが水平な直線であれば、傾きはゼロなので、加速度はゼロ（等速直線運動）です。
v-tグラフが曲線であれば、接線の傾きは刻一刻と変化するため、加速度は一定ではありません。

ここまでで、私たちは運動を記述するための基本的な語彙（位置、変位、速度、加速度）とその数学的な関係性（微分）を学びました。位置を微分すれば速度、速度を微分すれば加速度が得られる。この階層構造を理解することが、次なるステップ、すなわち具体的な運動モデルである「等加速度直線運動」の解析へと進むための鍵となります。

5. 等加速度直線運動を支配する3公式

これまでに、運動を記述するための基本的な物理量である位置、速度、加速度を定義し、それらが微積分によって関連付けられていることを見てきました。ここからは、これらの概念を用いて、物理学で最も基本的かつ重要な運動モデルの一つである等加速度直線運動を解析します。

等加速度直線運動とは、その名の通り、「加速度が一定 (constant) で、かつ運動が一直線上で起こる」運動のことです。なぜこの運動が重要かというと、地上での物体の落下運動（自由落下）が、空気抵抗を無視すれば、ほぼこのモデルで記述できるからです。ガリレオ・ガリレイ以来、この運動の解析は力学の発展の礎となってきました。

この運動は、初期条件（最初の位置と速度）と一定の加速度の値さえ分かっていれば、その後の任意の時刻における物体の位置と速度を完全に予測することができます。その予測を可能にするのが、これから導出する3つの基本公式です。これらの公式は、単に暗記するのではなく、その導出過程を理解することで、物理法則の論理的な美しさと、数学（特に微積分）の有用性を深く実感できるはずです。

5.1. 運動の前提条件の確認

まず、これから考える状況設定を明確にしておきましょう。

運動の種類: 一直線上（一次元）の運動。
加速度: 一定の値 \(a\) をとる（\(a = \text{const.}\)）。
初期条件:
- 時刻 \(t=0\) における物体の速度を初速度と呼び、\(v_0\) と表す。
- 時刻 \(t=0\) における物体の位置を初期位置とし、簡単のため原点 \(x_0 = 0\) とする。（もし初期位置が \(x_0 \neq 0\) の場合は、最終的な位置の式に \(x_0\) を加えればよい）

この設定の下で、任意の時刻 \(t\) における速度 \(v\) と位置 \(x\) を求めることが目標です。

5.2. 公式1：速度と時間の関係式 (v = v₀ + at)

最初の公式は、加速度の定義から直接導かれます。

導出プロセス

瞬間の加速度 \(a\) は、速度 \(v\) の時間微分として定義されました。

\[ a = \frac{dv}{dt} \]

今、加速度 \(a\) は一定であると仮定しています。この微分方程式を解くことで、\(v\) と \(t\) の関係を求めます。高校物理の範囲では、積分の考え方を用いてより直感的に導出します。

加速度の定義 \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) を変形すると、速度の変化量 \(\Delta v\) は \(\Delta v = a \Delta t\) となります。

時刻 \(t=0\) から任意の時刻 \(t\) までの時間区間を考えると、

時間変化 \(\Delta t = t – 0 = t\)
速度変化 \(\Delta v = v – v_0\) （ここで \(v\) は時刻 \(t\) での速度）

これらを代入すると、

\[ v – v_0 = a \cdot t \]

\(v_0\) を右辺に移項すれば、一つ目の公式が得られます。

\[ v = v_0 + at \]

物理的意味

この式は、「時刻 \(t\) における速度 \(v\) は、初速度 \(v_0\) に、加速度 \(a\) によって \(t\) 秒間にもたらされた速度変化 \(at\) を加えたものである」という、非常に明快な物理的意味を持っています。

グラフによる解釈

この式は、v-tグラフ（縦軸に \(v\)、横軸に \(t\)）において、切片が \(v_0\)、傾きが \(a\) の**一次関数（直線）**を表します。これは、v-tグラフの傾きが加速度を意味するという、前セクションでの学びと完全に一致しています。

5.3. 公式2：変位と時間の関係式 (x = v₀t + ½at²)

二つ目の公式は、時刻 \(t\) における物体の位置（原点からの変位）\(x\) を与えます。これは、v-tグラフと変位の関係から導き出すのが最も分かりやすいでしょう。

導出プロセス（グラフ利用）

前セクションで、v-tグラフの面積が物体の変位 \(\Delta x\) （この場合は \(x-x_0 = x\)）を表すことを学びました。

時刻 \(t=0\) から \(t\) までのv-tグラフは、先ほど見たように、切片 \(v_0\)、時刻 \(t\) での高さ \(v = v_0 + at\) の直線です。

この直線と t軸、および \(t=0\) と \(t=t\) の線で囲まれた部分の面積を求めれば、それが変位 \(x\) となります。

この図形は台形であり、その面積は「(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2」で計算できます。

上底：初速度 \(v_0\)
下底：時刻 \(t\) での速度 \(v\)
高さ：時間 \(t\)

よって、変位 \(x\) は、

\[ x = \frac{(v_0 + v)t}{2} \]

となります。これはこれ自体で有用な関係式ですが、通常は公式1（\(v = v_0 + at\)）を代入して \(v\) を消去し、\(t\) と \(a\) だけで表した形を基本公式とします。

\[ x = \frac{(v_0 + (v_0 + at))t}{2} = \frac{(2v_0 + at)t}{2} = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]

これが二つ目の公式です。

\[ x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]

導出プロセス（積分利用）

微積分を学んでいる読者向けに、積分を用いた厳密な導出も示しておきます。

速度 \(v\) は位置 \(x\) の時間微分 (\(v = dx/dt\)) なので、位置 \(x\) は速度 \(v(t)\) を時間で積分することで得られます。

\[ x = \int_0^t v(t) dt \]

ここに、公式1で求めた \(v(t) = v_0 + at\) を代入します。

\[ x = \int_0^t (v_0 + at) dt = \left[ v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \right]_0^t = (v_0 t + \frac{1}{2}at^2) – 0 = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]

グラフの面積計算が、数学的には定積分に対応していることが分かります。

物理的意味とグラフ解釈

この式は、変位 \(x\) が時間 \(t\) の二次関数であることを示しています。したがって、x-tグラフは放物線を描きます。

式の第一項 \(v_0 t\) は、「もし加速度がゼロだったら（等速直線運動だったら）進むはずの距離」を表し、第二項 \(\frac{1}{2}at^2\) は、「加速度 \(a\) が存在することによって生じる追加の変位」を表していると解釈できます。

5.4. 公式3：速度と変位の関係式 (v² – v₀² = 2ax)

三つ目の公式は、時間 \(t\) を含まないという特徴があります。これにより、問題文に時間が与えられていない場合に、計算を大幅に簡略化できます。この公式は、公式1と公式2から数学的に \(t\) を消去することで導出されます。

導出プロセス

目的は、以下の二式から \(t\) を消去することです。

\(v = v_0 + at\)
\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)

まず、式1を \(t\) について解きます。

\[ t = \frac{v – v_0}{a} \]

次に、この \(t\) を式2に代入します。

\[ x = v_0 \left( \frac{v – v_0}{a} \right) + \frac{1}{2}a \left( \frac{v – v_0}{a} \right)^2 \]

これを整理していきます。

\[ x = \frac{v_0 v – v_0^2}{a} + \frac{1}{2}a \frac{(v – v_0)^2}{a^2} \]

\[ x = \frac{v_0 v – v_0^2}{a} + \frac{v^2 – 2v v_0 + v_0^2}{2a} \]

両辺に \(2a\) を掛けて分母を払います。

\[ 2ax = 2(v_0 v – v_0^2) + (v^2 – 2v v_0 + v_0^2) \]

\[ 2ax = 2v_0 v – 2v_0^2 + v^2 – 2v v_0 + v_0^2 \]

右辺の項を整理すると、\(2v_0 v\) と \(-2v_0 v\) が相殺され、\(-2v_0^2 + v_0^2 = -v_0^2\) となります。

\[ 2ax = v^2 – v_0^2 \]

これが三つ目の公式です。慣例的に \(v^2\) を左辺の先頭に書くことが多いです。

\[ v^2 – v_0^2 = 2ax \]

物理的意味

この式は、物体の速度の変化（の2乗）が、どれだけの距離（変位 \(x\)）を移動したかによって決まることを示しています。後のモジュールで学ぶ「仕事とエネルギーの関係」と密接に関連しており、運動エネルギーの変化（\(\frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2\)）が、力（\(ma\)）のした仕事（\(F \cdot x = max\)）に等しい、というエネルギー原理の運動学的な表現と見ることもできます。

5.5. 3公式のまとめと戦略的な使い方

改めて、等加速度直線運動を支配する3つの公式をまとめます。

\( v = v_0 + at \) (速度と時間の関係)

\( x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \) (変位と時間の関係)

\( v^2 – v_0^2 = 2ax \) (速度と変位の関係)

これらの公式を使いこなすための基本的な戦略は、問題文で与えられている物理量（既知量）と、求めたい物理量（未知量）を整理し、それらの量を含む最適な公式を選択することです。

時間 \(t\) が関わる問題で、変位 \(x\) が不要な場合 → 公式1
時間 \(t\) が関わる問題で、最終的な速度 \(v\) が不要な場合 → 公式2
時間 \(t\) が一切関わらない問題（「〜m進んだときの速さは？」など） → 公式3

これらの公式は、力学の問題を解く上で最も頻繁に使用する道具となります。しかし、それはあくまで「加速度が一定」という特殊な状況下でのみ成り立つ法則です。この適用条件を忘れず、導出過程の論理を理解しておくことが、応用力を身につけ、より複雑な運動へと学びを進めていくための確かな土台となるのです。

6. 鉛直投射運動の運動学的分析

前セクションで導出した等加速度直線運動の3公式は、非常に強力なツールです。このセクションでは、その最初の具体的な応用例として、私たちの身の回りで最も普遍的に見られる等加速度直線運動、すなわち鉛直投射運動を分析します。

鉛直投射運動とは、物体を鉛直方向（真上または真下）に投げたときの運動のことです。空気抵抗を無視できる理想的な状況では、運動中の物体に作用する力は地球の重力のみです。重力は、物体の質量によらず、すべての物体に一定の加速度を生じさせます。この加速度を重力加速度 (gravitational acceleration) と呼び、記号 \(g\) で表します。地表付近でのその大きさは、およそ \(g \approx 9.8 , \text{m/s}^2\) です。

重要なのは、この重力加速度 \(g\) の向きが常に鉛直下向きで一定であるという点です。したがって、鉛直投射運動は、まさしく加速度が一定の直線運動であり、前セクションの3公式をそのまま適用することができるのです。

6.1. 座標軸の設定：物理分析の第一歩

鉛直投射運動の問題を解く上で、最も重要かつ最初に行うべきことは、座標軸を設定することです。具体的には、「どの向きを正とするか」を明確に宣言することです。通常、以下の二つの設定が考えられます。

鉛直上向きを正 (+\(y\)) とする:この場合、重力加速度は常に負の向きに作用するため、加速度 \(a\) を \(-g\) で置き換えることになります。
- 加速度: \(a = -g\)
- 投げ上げられた物体の初速度は正 (\(v_0 > 0\))。
- 投げ下ろされた物体の初速度は負 (\(v_0 < 0\))。
- 位置 \(y\) が正なら原点より上、負なら原点より下を意味する。
鉛直下向きを正 (+\(y\)) とする:この場合、重力加速度は正の向きに作用するため、加速度 \(a\) を \(+g\) で置き換えることになります。
- 加速度: \(a = +g\)
- 投げ下ろされた物体の初速度は正 (\(v_0 > 0\))。
- 投げ上げられた物体の初速度は負 (\(v_0 < 0\))。

どちらの座標系を選んでも、物理的に正しい答えが導かれます。しかし、問題の状況に応じてより計算が簡単になる方を選ぶのが賢明です。例えば、自由落下や投げ下ろしのように、運動が主に下向きに起こる場合は、鉛直下向きを正とすると、負号の扱いが減って計算ミスを防ぎやすくなります。

本解説では、より一般的に多くの状況を統一的に扱える**鉛直上向きを正 (+\(y\))**として話を進めます。

6.2. 鉛直投射運動の3つのパターンと公式の適用

鉛直上向きを正 (+\(y\)) と定めると、等加速度直線運動の3公式は次のように書き換えられます。

鉛直投射運動の公式 (鉛直上向き正)

\( v_y = v_0 – gt \)

\( y = v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 \)

\( v_y^2 – v_0^2 = -2gy \)

ここで、\(v_0\) は初速度（上向きなら正、下向きなら負）、\(v_y\) は時刻 \(t\) での速度、\(y\) は時刻 \(t\) での原点からの変位（位置）です。

この3つの公式を用いて、鉛直投射運動の代表的な3つのパターンを分析します。

6.2.1. 鉛直投げ上げ (Vertical Throw-up)

物体を、原点 (\(y=0\)) から初速度 \(v_0 > 0\) で真上に投げ上げる運動です。

速度の変化: 公式1 \(v_y = v_0 – gt\) から、速度 \(v_y\) は時間とともに直線的に減少します。
最高点: 物体は上昇し、やがて速度がゼロになります。この点が最高点です。最高点では \(v_y = 0\) となるので、公式1に代入すると、最高点に到達するまでの時間 \(t_1\) を求めることができます。\[ 0 = v_0 – gt_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_0}{g} \]また、このときの高さ（最高点のy座標）\(y_1\) は、公式3に \(v_y = 0\) を代入することで求められます。\[ 0^2 – v_0^2 = -2gy_1 \quad \Rightarrow \quad y_1 = \frac{v_0^2}{2g} \]
元の位置への帰還: 物体は最高点に達した後、向きを変えて落下し、やがて元の位置 (\(y=0\)) に戻ってきます。元の位置に戻る時刻 \(t_2\) は、公式2に \(y=0\) を代入して求めます。\[ 0 = v_0 t_2 – \frac{1}{2}gt_2^2 = t_2 \left( v_0 – \frac{1}{2}gt_2 \right) \]この方程式の解は \(t_2 = 0\)（出発時）と \(t_2 = \frac{2v_0}{g}\) です。よって、戻ってくるまでの時間は \(\frac{2v_0}{g}\) となります。これは、最高点までの時間 \(t_1 = \frac{v_0}{g}\) のちょうど2倍です。このことから、上昇にかかる時間と、同じ高さを下降するのにかかる時間は等しいという重要な対称性が分かります。
対称性: この運動の対称性は非常に重要です。同じ高さの点を通過するとき、上りの速さと下りの速さ（速度の大きさ）は等しくなります。これは公式3 (\( v_y^2 – v_0^2 = -2gy \)) からも明らかです。同じ高さ \(y\) では、\(v_y^2\) の値が同じになるため、\(v_y = \pm \sqrt{v_0^2 – 2gy}\) となり、速度の大きさは同じで向き（符号）だけが逆になります。

6.2.2. 鉛直投げ下ろし (Vertical Throw-down)

物体を、ある高さ（例えば \(y=h\)）から初速度 \(v_0 > 0\)（下向きなので、座標系の設定によっては \(v_0 < 0\) となることに注意）で真下に投げ下ろす運動です。

ここでは、混乱を避けるため、鉛直下向きを正 (+\(y\)) として考えてみましょう。この場合、公式は次のようになります。

投げ下ろしの公式 (鉛直下向き正)

\( v_y = v_0 + gt \)

\( y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \)

\( v_y^2 – v_0^2 = 2gy \)

この場合、初速度 \(v_0\) は正の値を持ちます。全ての項が正になるため、計算が非常に直感的になります。物体は常に加速し続け、速度も変位も時間とともに増加していきます。

6.2.3. 自由落下 (Free Fall)

自由落下は、鉛直投げ下ろしの特殊なケースで、初速度がゼロ (\(v_0 = 0\)) の場合です。物体を静かに手放したときの運動がこれにあたります。

鉛直下向きを正 (+\(y\)) とすると、自由落下の公式は極めてシンプルになります。

自由落下の公式 (鉛直下向き正、\(v_0=0\))

\( v_y = gt \)

\( y = \frac{1}{2}gt^2 \)

\( v_y^2 = 2gy \)

これらの式は、ガリレオが発見した法則として有名です。

公式1は、落下速度が時間に比例して増加することを示しています。
公式2は、落下距離が時間の2乗に比例して増加することを示しています。1秒後には \(\frac{1}{2}g\) [m]、2秒後には \(4 \times (\frac{1}{2}g)\) [m]、3秒後には \(9 \times (\frac{1}{2}g)\) [m] と、落下距離は急激に増えていきます。

6.3. 思考の深化：ガリレオの思考実験

鉛直投射運動の法則、特に物体がその質量によらず同じ加速度で落下するという事実は、アリストテレス以来の「重いものほど速く落ちる」という直感に反するものでした。ガリレオは、これを有名な思考実験によって論理的に示しました。

ガリレオの思考実験

もし「重い物体 A」が「軽い物体 B」よりも速く落ちると仮定する。（アリストテレスの考え）

では、AとBをひもでつないで一つの物体 C として落下させたらどうなるか？

考え方その1：CはAよりも重いので、A単体よりも速く落ちるはずだ。

考え方その2：軽いBは遅く落ちようとするので、速く落ちようとするAのブレーキ役になる。したがって、CはA単体よりも遅く落ちるはずだ。

同じ一つの現象に対して、「Aより速い」と「Aより遅い」という二つの矛盾した結論が導かれてしまった。

この矛盾は、最初の仮定「重い物体ほど速く落ちる」が誤っているからに他ならない。

唯一、矛盾が生じない結論は、「重い物体も軽い物体も、同じ速さ（加速度）で落ちる」である。

この思考実験は、観察や実験だけでなく、論理的な整合性がいかに物理法則の探求において重要であるかを示しています。私たちが学んでいる等加速度運動の公式は、このような鋭い知性の積み重ねの上にあるのです。

このセクションで見てきたように、鉛直投射運動は等加速度直線運動の具体的な一例に過ぎません。しかし、座標軸の戦略的な設定、運動のパターンの分類（投げ上げ、投げ下ろし、自由落下）、そして運動の対称性の発見など、物理の問題解決における多くの重要な思考法を含んでいます。これらの思考法を身につけることが、次のステップである平面上の運動、すなわち斜方投射の解析へと繋がっていきます。

7. 水平投射と斜方投射の成分分解による解析

これまでの議論は、運動が一直線上で起こる一次元のケースに限られていました。しかし、私たちが現実世界で目にする運動の多くは、平面上や空間内で起こる二次元、三次元の運動です。例えば、キャッチボールで投げられたボールや、大砲から発射された砲弾は、美しい放物線を描いて飛んでいきます。

このような平面上の運動をどのように解析すればよいのでしょうか。一見複雑に見えるこれらの運動も、実は**「運動の独立性」という一つの強力な原理を用いることで、私たちがすでに習得した一次元運動の知識の組み合わせとして理解することができます。このセクションでは、この原理を用いて、水平投射と斜方投射**という代表的な平面運動を解析します。

7.1. 運動の独立性（ガリレイの重ね合わせの原理）

平面上の運動を解析するための最も重要な鍵が、運動の独立性の原理です。これは、互いに直交する方向（例えば水平方向と鉛直方向）の運動は、互いに干渉せず、独立に扱うことができるというものです。

具体的には、物体に働く力（この場合は重力）や、それによって生じる運動（速度、変位）を、水平（x）成分と鉛直（y）成分に分解して考えます。

水平方向（x方向）の運動: 水平方向には力が働かない（空気抵抗を無視）ため、水平方向の加速度はゼロです。したがって、水平方向の運動は等速直線運動となります。
鉛直方向（y方向）の運動: 鉛直方向には常に重力が働いているため、鉛直方向の加速度は常に重力加速度 \(g\)（鉛直下向き）です。したがって、鉛直方向の運動は**鉛直投射運動（等加速度直線運動）**となります。

つまり、放物運動という一見複雑な二次元の運動は、

「等速直線運動（水平方向）」と「鉛直投射運動（鉛直方向）」という、二つの単純な一次元運動を同時に行っている

と見なすことができるのです。この「分解して考える」というアプローチが、物理学における極めて強力な問題解決戦略となります。

7.2. 水平投射 (Horizontal Projection)

まずは、より単純なケースである水平投射から分析します。これは、ある高さから物体を水平方向に初速度 \(v_0\) で投げ出したときの運動です。

設定

座標系: 物体を投げ出した点を原点 O(0, 0) とし、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとります。この座標系の設定により、重力加速度は \(a_y = +g\) となり、計算が簡便になります。
初速度: 時刻 \(t=0\) における初速度ベクトル \(\vec{v}_0\) の成分は、
- x成分: \(v_{0x} = v_0\)
- y成分: \(v_{0y} = 0\) （最初は鉛直方向の速度を持たない）

運動の成分分析

水平方向（x方向）の運動:
- 加速度: \(a_x = 0\) （力が働かない）
- 運動の種類: 等速直線運動
- 時刻 \(t\) での速度のx成分: \(v_x = v_{0x} = v_0\) （常に一定）
- 時刻 \(t\) での位置のx座標: \(x = v_{0x} t = v_0 t\)
鉛直方向（y方向）の運動:
- 加速度: \(a_y = +g\) （下向きを正としたため）
- 運動の種類: 自由落下
- 時刻 \(t\) での速度のy成分: \(v_y = v_{0y} + gt = 0 + gt = gt\)
- 時刻 \(t\) での位置のy座標: \(y = v_{0y} t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2\)

運動の記述

これで、任意の時刻 \(t\) における物体の速度ベクトル \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) と位置ベクトル \(\vec{r} = (x, y)\) が、時間 \(t\) の関数として完全に記述できました。

位置: \(x = v_0 t\), \(y = \frac{1}{2}gt^2\)
速度: \(v_x = v_0\), \(v_y = gt\)

軌跡の方程式

物体の描く軌跡の形を知るには、これらの位置の式から時間 \(t\) を消去して、\(y\) を \(x\) の関数として表します。

\(x = v_0 t\) より、\(t = \frac{x}{v_0}\)。これを \(y\) の式に代入すると、

\[ y = \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 = \left( \frac{g}{2v_0^2} \right) x^2 \]

これは、\(y = (\text{定数}) \cdot x^2\) の形をしており、頂点が原点にある放物線を表しています。

ミニケーススタディ：モンキーハンティング

この運動の独立性を示す有名な思考実験に「モンキーハンティング」があります。猟師が木の上にいる猿を狙っています。猿は、猟師が銃を撃ったのと同時に木から手を放し、自由落下を始めます。このとき、弾は猿に命中するでしょうか？（空気抵抗は無視します）

答えは「必ず命中する」です。

もし重力がなければ、弾はまっすぐ進み、猿は木の上にとどまっているので、弾は猿に当たります。
現実には重力が存在します。重力は、弾と猿の両方に、全く同じように作用します。つまり、両者を同じ加速度 \(g\) で鉛直下向きに落下させます。
弾が猿の真下まで飛んでくる時間 \(t\) の間に、弾は重力によって \(\frac{1}{2}gt^2\) だけ落下します。
一方、猿も同じ時間 \(t\) の間に、自由落下によって全く同じ距離 \(\frac{1}{2}gt^2\) だけ落下します。
結果として、弾は「もし重力がなかった場合にいたであろう猿の位置」から、ちょうど猿が落下した分だけ下の位置に到達します。それはまさしく、落下した猿の現在の位置です。

これは、弾の水平運動と鉛直運動が独立しており、鉛直方向の運動（重力による落下）が、目標である猿の運動と完全に同調しているために起こる現象なのです。

7.3. 斜方投射 (Oblique Projection)

次に、より一般的なケースである斜方投射を分析します。これは、物体を地上の原点 O から、水平方向と角度 \(\theta\) をなす向きに、初速度の大きさ \(v_0\) で投げ出したときの運動です。

設定

座標系: 投げ出した点を原点 O(0, 0) とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。この場合、重力加速度は \(a_y = -g\) となります。
初速度の成分分解: まず、初速度ベクトル \(\vec{v}_0\) をx成分とy成分に分解します。これは、この解析で最も重要な最初のステップです。
- x成分: \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\)
- y成分: \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)

運動の成分分析

水平方向（x方向）の運動:
- 加速度: \(a_x = 0\)
- 運動の種類: 等速直線運動
- 時刻 \(t\) での速度のx成分: \(v_x = v_{0x} = v_0 \cos\theta\) （常に一定）
- 時刻 \(t\) での位置のx座標: \(x = v_{0x} t = (v_0 \cos\theta) t\)
鉛直方向（y方向）の運動:
- 加速度: \(a_y = -g\) （上向きを正としたため）
- 運動の種類: 鉛直投げ上げ運動
- 時刻 \(t\) での速度のy成分: \(v_y = v_{0y} – gt = v_0 \sin\theta – gt\)
- 時刻 \(t\) での位置のy座標: \(y = v_{0y} t – \frac{1}{2}gt^2 = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2\)

運動の解析：最高点と水平到達距離

これらの式を用いて、斜方投射における重要な物理量を導出できます。

最高点への到達時間 (\(t_1\)) とその高さ (\(h\)):最高点では、鉛直方向の速度成分がゼロになります (\(v_y = 0\))。\(v_y = v_0 \sin\theta – gt_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_0 \sin\theta}{g}\)この時間 \(t_1\) を \(y\) の式に代入すると、最高点の高さ \(h\) が求まります。\(h = (v_0 \sin\theta) \left(\frac{v_0 \sin\theta}{g}\right) – \frac{1}{2}g \left(\frac{v_0 \sin\theta}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\)
水平到達距離 (\(L\)):物体が再び地面 (\(y=0\)) に戻ってくるまでの時間を \(t_2\) とします。鉛直投げ上げの対称性から、\(t_2 = 2t_1 = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}\) となります。（これは \(y\) の式 = 0 を解いても同じ結果が得られます）。水平到達距離 \(L\) は、この時間 \(t_2\) の間に水平方向に進んだ距離なので、\(x\) の式に \(t=t_2\) を代入します。\(L = (v_0 \cos\theta) t_2 = (v_0 \cos\theta) \left(\frac{2v_0 \sin\theta}{g}\right) = \frac{v_0^2 (2\sin\theta\cos\theta)}{g}\)ここで、三角関数の倍角の公式 \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) を用いると、よりシンプルな形で表せます。\[ L = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]この式から、初速度 \(v_0\) が一定の場合、\(\sin(2\theta)\) が最大値 1 をとるとき、すなわち \(2\theta = 90^\circ\) つまり \(\theta = 45^\circ\) のときに水平到達距離が最大になる、という有名な結論が導かれます。

軌跡の方程式

水平投射と同様に、時間 \(t\) を消去すると軌跡の式が得られます。

\(t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}\) を \(y\) の式に代入すると、

\[ y = (v_0 \sin\theta) \left(\frac{x}{v_0 \cos\theta}\right) – \frac{1}{2}g \left(\frac{x}{v_0 \cos\theta}\right)^2 \]

\[ y = (\tan\theta)x – \left( \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta} \right) x^2 \]

これもまた、\(y = Ax – Bx^2\) （A, Bは正の定数）の形をした、上に凸の放物線を表しています。

運動を成分に分解するという考え方は、物理学のあらゆる場面で登場する極めて汎用性の高い思考ツールです。複雑に見える現象も、適切な座標軸を設定し、各成分に分解して分析すれば、単純な法則の組み合わせに還元できる。この powerful な視点を身につけることが、力学をマスターするための鍵となるのです。

8. 運動のグラフ（v-t, x-t, a-t）の解釈と相互変換

物理学、特に運動学において、物体の運動を表現する方法は一つではありません。これまで見てきたように、数式を用いて速度や位置を時間の関数として記述する方法は、定量的で厳密な解析を可能にします。しかし、運動の全体像や時間的な変化の様子を直感的に把握するためには、グラフを用いた視覚的な表現が非常に有効です。

運動を記述する主要なグラフとして、加速度-時間グラフ (a-tグラフ)、速度-時間グラフ (v-tグラフ)、そして位置-時間グラフ (x-tグラフ) の三つがあります。これらのグラフは独立しているのではなく、互いに密接な関係で結ばれており、一つのグラフから他の二つのグラフの形状を推測（相互変換）することができます。この相互変換の能力は、運動を多角的に、そして深く理解している証となります。

本セクションでは、これらのグラフが持つ物理的な意味を再確認し、それらの間の論理的な関係（微積分関係）を探求し、相互変換の技術を習得することを目指します。

8.1. 各グラフの物理的意味の再確認

まず、それぞれのグラフの縦軸と横軸、そしてグラフから読み取れる重要な情報（傾きと面積）の意味を整理します。（簡単のため、一次元の直線運動を考えます。）

8.1.1. 加速度-時間グラフ (a-tグラフ)

縦軸: 加速度 \(a\)
横軸: 時間 \(t\)
グラフの高さ: ある時刻における瞬間の加速度の値を直接示す。
面積: a-tグラフとt軸で囲まれた部分の面積は、速度の変化量 \(\Delta v\) を表す。
- なぜなら、\(a = \Delta v / \Delta t\) より \(\Delta v = a \Delta t\) であり、これは微小な時間幅 \(\Delta t\) における長方形の面積に対応するからです。したがって、ある時間区間の面積は、これらの微小な変化量の合計、すなわちその区間全体の速度変化量となります。（数学的には \(\Delta v = \int a(t) dt\)）

8.1.2. 速度-時間グラフ (v-tグラフ)

縦軸: 速度 \(v\)
横軸: 時間 \(t\)
グラフの高さ: ある時刻における瞬間の速度の値を直接示す。
傾き（接線の傾き）: v-tグラフの傾きは、瞬間の加速度 \(a\) を表す。
- なぜなら、傾きは \(\Delta v / \Delta t\) で定義され、これは加速度の定義そのものだからです。（数学的には \(a = dv/dt\)）
面積: v-tグラフとt軸で囲まれた部分の面積は、変位 \(\Delta x\) を表す。
- なぜなら、\(v = \Delta x / \Delta t\) より \(\Delta x = v \Delta t\) であり、これは微小な時間幅 \(\Delta t\) における長方形の面積（進んだ距離）に対応するからです。したがって、ある時間区間の面積は、その区間全体の変位となります。（数学的には \(\Delta x = \int v(t) dt\)）

8.1.3. 位置-時間グラフ (x-tグラフ)

縦軸: 位置 \(x\)
横軸: 時間 \(t\)
グラフの高さ: ある時刻における**物体の位置（座標）**を直接示す。
傾き（接線の傾き）: x-tグラフの傾きは、瞬間の速度 \(v\) を表す。
- なぜなら、傾きは \(\Delta x / \Delta t\) で定義され、これは速度の定義そのものだからです。（数学的には \(v = dx/dt\)）
面積: x-tグラフの面積には、直接的で単純な物理的意味はありません。

8.2. グラフ間の関係性：微積分による連鎖

これらの関係性を整理すると、三つのグラフが微積分によって強く結びついていることがわかります。

\[ \text{位置 } x(t) \quad \xrightarrow{\text{時間で微分 (傾きを求める)}} \quad \text{速度 } v(t) \quad \xrightarrow{\text{時間で微分 (傾きを求める)}} \quad \text{加速度 } a(t) \]

そして、この操作は逆方向にたどることもできます。

\[ \text{加速度 } a(t) \quad \xrightarrow{\text{時間で積分 (面積を求める)}} \quad \text{速度 } v(t) \quad \xrightarrow{\text{時間で積分 (面積を求める)}} \quad \text{位置 } x(t) \]

この「微分すれば傾き」「積分すれば面積」という関係が、グラフを相互に変換するための根本原理です。

v-tグラフからa-tグラフへ: v-tグラフの各点における傾きを計算し、それを時間に対してプロットすればa-tグラフが得られます。
x-tグラフからv-tグラフへ: x-tグラフの各点における傾きを計算し、それを時間に対してプロットすればv-tグラフが得られます。
a-tグラフからv-tグラフへ: a-tグラフの面積を累積していくことで、速度の変化量がわかります。初速度 \(v_0\) がわかっていれば、\(v(t) = v_0 + (\text{時刻0からtまでの面積})\) としてv-tグラフを描くことができます。
v-tグラフからx-tグラフへ: v-tグラフの面積を累積していくことで、変位がわかります。初期位置 \(x_0\) がわかっていれば、\(x(t) = x_0 + (\text{時刻0からtまでの面積})\) としてx-tグラフを描くことができます。

8.3. 具体例：等加速度直線運動のグラフ

この関係性を、最も基本的な運動である等加速度直線運動（初速度 \(v_0 > 0\)、加速度 \(a > 0\)）を例に確認してみましょう。

a-tグラフ:加速度 \(a\) は一定なので、グラフはt軸に平行な直線（高さ \(a\) の水平線）になります。
v-tグラフ:a-tグラフの面積は、時間 \(t\) に比例して \(at\) と増加します。これが速度の変化量です。したがって、速度は \(v = v_0 + at\) となります。これは、切片が \(v_0\)、傾きが \(a\) の**一次関数（右上がりの直線）**です。このv-tグラフの傾きが \(a\) で一定であることは、元のa-tグラフが高さ \(a\) の水平線であることと整合性が取れています。
x-tグラフ:v-tグラフの面積（変位）を考えます。面積は \(v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) でした。したがって、位置は \(x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) となります（ここでは \(x_0=0\) とします）。これは時間 \(t\) の二次関数です。グラフの形は、下に凸の放物線になります。このx-tグラフの傾き（速度）を見てみると、時刻 \(t=0\) では傾きが \(v_0\) であり、時間が経つにつれて傾きはどんどん急（大きく）なっていきます。これは、v-tグラフで速度が直線的に増加していることと見事に一致します。

このように、三つのグラフは互いの性質を反映しあい、一つの運動を異なる側面から描き出しているのです。

8.4. グラフの相互変換の実践的思考プロセス

では、未知の運動のv-tグラフが与えられたとして、そこからa-tグラフとx-tグラフを描く思考プロセスをシミュレーションしてみましょう。

**【問題】**以下のようなv-tグラフで表される物体の運動について、a-tグラフとx-tグラフの概形を描け。物体は時刻 \(t=0\) で原点 \(x=0\) にあったとする。

（v-tグラフ：\(t=0\)から\(t_1\)までは傾き正の直線、\(t_1\)から\(t_2\)までは傾きゼロの水平線、\(t_2\)から\(t_3\)までは傾き負の直線で速度がゼロになる）

思考プロセス

v-tグラフからa-tグラフへの変換（傾きを見る）:
- 区間 0 ~ \(t_1\): v-tグラフは傾きが正で一定の直線です。したがって、a-tグラフは、この区間で正の一定値をとる水平線になります。
- 区間 \(t_1\) ~ \(t_2\): v-tグラフは傾きがゼロの水平線です。したがって、a-tグラフは、この区間で値がゼロ（t軸に重なる）になります。
- 区間 \(t_2\) ~ \(t_3\): v-tグラフは傾きが負で一定の直線です。したがって、a-tグラフは、この区間で負の一定値をとる水平線になります。
- これらを繋ぎ合わせれば、a-tグラフが完成します。
v-tグラフからx-tグラフへの変換（面積を見る＆傾きを反映する）:
- 区間 0 ~ \(t_1\):
  - （面積）v-tグラフの面積は時間とともに増加します。面積の増え方は \(t^2\) に比例する形（台形面積の増加）なので、x-tグラフは下に凸の放物線を描きます。
  - （傾き）v-tグラフの値（速度）はゼロから始まり、徐々に増加します。したがって、x-tグラフの傾きは、ゼロから始まり、徐々に急になっていきます。
- 区間 \(t_1\) ~ \(t_2\):
  - （面積）v-tグラフの面積は、一定の速度で直線的に増加し続けます。
  - （傾き）v-tグラフの値（速度）は正で一定です。したがって、x-tグラフの傾きは、この区間で正の一定値を保ちます。つまり、グラフは右上がりの直線になります。\(t_1\) の点で、前の区間の放物線と滑らかに接続されます。
- 区間 \(t_2\) ~ \(t_3\):
  - （面積）v-tグラフの面積は増加し続けますが、その増加率はだんだん緩やかになります。
  - （傾き）v-tグラフの値（速度）は正ですが、直線的に減少し、\(t_3\) でゼロになります。したがって、x-tグラフの傾きは、\(t_2\) での傾きから徐々に緩やかになり、\(t_3\) で傾きがゼロ（水平）になります。グラフの形は上に凸の放物線の一部となります。
- これらを滑らかに繋ぎ合わせれば、x-tグラフの概形が完成します。

このように、グラフ間の微積分関係を「傾き」と「面積」という幾何学的な性質に翻訳して考えることで、数式を一切使わずに、運動の定性的な振る舞いを正確に描き出すことができます。この能力は、複雑な運動を直感的に理解し、物理的な洞察力を深める上で不可欠なスキルです。

9. 相対速度のベクトル的合成と分解

これまでの議論では、物体の運動を「静止した観測者」から見た、いわば絶対的な視点で記述してきました。この静止した観測者が基準とする座標系のことを静止座標系と呼びます。しかし、現実の世界では、観測者自身が運動していることも頻繁にあります。例えば、走行中の電車の中から外の景色を見たり、並走する別の電車を見たりする場合です。

このように、運動している観測者から見た、別の物体の運動を記述するのが相対運動の考え方です。そして、その運動の速度を相対速度 (relative velocity) と呼びます。相対速度の概念を理解することは、衝突問題やドップラー効果など、物理学の様々な分野で不可欠となります。

相対速度の計算は、本質的にはベクトルの減算です。このセクションでは、相対速度の定義を明確にし、ベクトルを用いた計算方法を一次元および二次元の例を通じて習得します。

9.1. 相対速度の定義

観測者Aと物体Bが、ある静止座標系（例えば地面）に対して、それぞれ速度 \(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_B\) で運動しているとします。

このとき、「観測者Aから見た物体Bの相対速度」 \(\vec{v}_{AB}\) は、物体Bの速度から観測者Aの速度をベクトル的に引き算したものとして定義されます。

\[ \vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A \]

この添字の順序（Aから見たBなら \(\vec{v}_{AB}\)）と、式の形（B引くA）を正確に覚えることが重要です。

物理的な意味：観測者の速度を「引く」とは？

なぜ引き算なのでしょうか。これは、「Aから見る」という操作が、「A自身は静止していると見なす座標系に乗り移る」ことと等価だからです。

静止座標系から見て、Aは \(\vec{v}_A\) で動いています。このAを無理やり静止させるには、Aの速度を打ち消すために、系全体に \(-\vec{v}_A\) という速度ベクトルを加えればよい、と考えることができます。

この操作を物体Bにも適用すると、Bの速度は元の \(\vec{v}_B\) に \(-\vec{v}_A\) が加わって、\(\vec{v}_B + (-\vec{v}_A) = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) となります。これが、Aから見たBの相対速度になるのです。

つまり、相対速度を求めることは、**「相手の速度から、自分の速度を引く」**という操作に集約されます。

9.2. 一次元（直線上）の相対速度

まず、最も単純な直線上の運動で考えてみましょう。この場合、ベクトルは符号付きのスカラー（正負で向きを表す）として扱うことができます。右向きを正としましょう。

例1：同じ向きに走る車

車Aが東向き（正の向き）に 80 km/h (\(v_A = +80\))、車Bが同じく東向きに 100 km/h (\(v_B = +100\)) で走っているとします。

Aから見たBの相対速度 \(v_{AB}\):\(v_{AB} = v_B – v_A = (+100) – (+80) = +20\) km/hこれは、Aの運転手からは、Bが東向きに 20 km/h で遠ざかっていくように見えることを意味します。直感的にも正しいですね。
Bから見たAの相対速度 \(v_{BA}\):\(v_{BA} = v_A – v_B = (+80) – (+100) = -20\) km/hこれは、Bの運転手からは、Aが西向き（負の向き）に 20 km/h で遠ざかっていく（あるいは、自分が前に進んでいるので、Aが後ろに下がっていく）ように見えることを意味します。この例から、\(\vec{v}{BA} = -\vec{v}{AB}\) という一般的な関係が成り立っていることがわかります。

例2：すれ違う車

車Aが東向きに 80 km/h (\(v_A = +80\))、車Cが西向き（負の向き）に 70 km/h (\(v_C = -70\)) で走っているとします。

Aから見たCの相対速度 \(v_{AC}\):\(v_{AC} = v_C – v_A = (-70) – (+80) = -150\) km/hこれは、Aの運転手からは、Cが西向きに 150 km/h という猛烈な速さですれ違っていくように見えることを意味します。

9.3. 二次元（平面上）の相対速度

平面上の相対速度を考える場合、ベクトルの図示と成分計算が不可欠になります。

ベクトルの引き算の図示法

\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) を図で考えるには、二つの方法があります。

始点を揃えて、引く方のベクトルの先端から引かれる方のベクトルの先端へ矢印を引く: \(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_B\) の始点を合わせ、\(\vec{v}_A\) の矢頭から \(\vec{v}B\) の矢頭に向かって引いたベクトルが \(\vec{v}{AB}\) になります。（\(\vec{v}A + \vec{v}{AB} = \vec{v}_B\) という関係式を図示したもの）
反対向きのベクトルを足す: \(\vec{v}_B – \vec{v}_A\) を \(\vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) と考えます。\(-\vec{v}_A\) は \(\vec{v}_A\) と同じ大きさで向きが真逆のベクトルです。\(\vec{v}_B\) と \(-\vec{v}_A\) をベクトル的に合成（平行四辺形の法則や、矢印を繋げる方法）します。

初心者は2番目の方法（反対向きのベクトルを足す）が、計算ミスが少なく直感的かもしれません。

例題：川を横切る船

問題設定:静水（流れのない水）ならば 4.0 m/s の速さで進むことのできる船があります。この船が、流れの速さ 3.0 m/s の川を、川岸に対して垂直に進んで向こう岸に渡りたいと考えています。船は、どちらの向きに船首を向けるべきでしょうか？また、そのときの川岸から見た船の速さはいくらでしょうか？
思考プロセス:
1. 速度の整理:
  - \(\vec{v}_{RW}\): 川の流れの速度（River relative to Water）。地面に対する水の速度。大きさ 3.0 m/s、向きは川下。
  - \(\vec{v}_{BR}\): 船の静水に対する速度（Boat relative to River）。水に対する船の速度。大きさ 4.0 m/s。向きは未知。これが船首を向けるべき方向。
  - \(\vec{v}_{BW}\): 船の地面に対する速度（Boat relative to Water）。川岸から見た船の速度。向きは川岸に垂直。大きさは未知。これが求めたいものの一つ。
2. 相対速度の関係式:これらの速度の間には、以下の関係が成り立ちます。「地面から見た船の速度」＝「地面から見た水の速度」＋「水から見た船の速度」\[ \vec{v}{BW} = \vec{v}{RW} + \vec{v}{BR} \]これは相対速度の式 \(\vec{v}{BR} = \vec{v}{BW} – \vec{v}{RW}\) を変形したものです。
3. ベクトル図の作成:この関係式をベクトル図で表現します。求めたいのは、\(\vec{v}{RW}\) (川下のベクトル) と \(\vec{v}{BR}\) (大きさ4.0のベクトル) を足したら、合成ベクトル \(\vec{v}_{BW}\) が川岸と垂直になるような状況です。これは、下図のような直角三角形を形成することを意味します。
  - 直角三角形の斜辺が、船の静水に対する速度 \(\vec{v}_{BR}\) (大きさ 4.0)。
  - 直角三角形の底辺が、川の流れの速度 \(\vec{v}_{RW}\) (大きさ 3.0)。
  - 直角三角形の高さが、川岸から見た船の速度 \(\vec{v}_{BW}\) (大きさ V とする)。
4. 計算:
  - 川岸から見た船の速さ \(V\):三平方の定理より、\(V^2 + 3.0^2 = 4.0^2\)。\(V^2 = 16.0 – 9.0 = 7.0\)\(V = \sqrt{7.0} \approx 2.65 \text{ m/s}\)これが川岸から見た船の速さです。
  - 船首を向けるべき角度 \(\theta\):船首を向けるべき方向は、川岸の垂直方向から川上側にどれだけ傾けるべきか、ということです。ベクトル図において、\(\vec{v}{BR}\) と \(\vec{v}{BW}\) がなす角を \(\theta\) とすると、\(\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3.0}{4.0} = 0.75\)したがって、\(\theta = \arcsin(0.75) \approx 48.6^\circ\) となります。つまり、船は川上に向かって、川岸の垂直方向から約49°の角度に船首を向けて進む必要があります。

この例題は、相対速度が単なる数値計算ではなく、ベクトルの幾何学的な関係を解き明かすプロセスであることを示しています。問題文のどの速度がどのベクトルに対応するのかを正確に把握し、正しい関係式を立て、ベクトル図を描いて考察することが、相対速度の問題を攻略する鍵となります。

10. 運動の記述における座標系設定の重要性

このモジュールの最後に、これまで学んできたすべての知識（ベクトル、変位、速度、加速度、各種運動モデル）を効果的に運用するための、極めて重要かつ実践的な「戦略」について議論します。それが、座標系 (coordinate system) の設定です。

物理法則そのものは、私たちがどのような座標系を選ぼうとも不変です。重力は、私たちが上向きを正にしようが下向きを正にしようが、常に地球の中心に向かって物体を引っ張ります。しかし、問題を解く上での計算の複雑さや、思考の明快さは、座標系の選び方によって劇的に変化します。

適切な座標系を最初に設定することは、複雑な問題を解くための羅針盤を手に入れることに等しく、物理の問題解決における最も基本的な作法の一つです。このセクションでは、なぜ座標系設定が重要なのか、そして、どのような状況でどのような座標系を選ぶべきなのかを探求します。

10.1. なぜ座標系設定が不可欠なのか？

物理量の定量化と客観性:セクション2で学んだように、「位置」を語るためには、まず基準となる原点と向き（座標軸）が必要です。座標系を設定して初めて、「\(x = +5\)」や「\(\vec{r} = (3, 4)\)」といった客観的で定量的な記述が可能になります。ベクトル量である変位、速度、加速度も、その成分を記述するためには座標軸が不可欠です。座標系を設定せずに問題を解こうとすることは、地図なしで航海に出るようなものです。
計算の簡略化:後続のモジュールで学ぶ「力の分解」や、本モジュールで学んだ「運動の分解」において、座標系の選び方が計算の手間を大きく左右します。多くの場合、加速度の方向、あるいは最も多くの力が働く方向に軸を合わせると、ベクトルを成分分解する際の手間が省け、計算が非常に楽になります。
思考の補助とミスの防止:最初に「どの向きを正とし、どこを原点とするか」を自分自身で明確に宣言し、図に書き込むことで、その後の計算における符号のミスを劇的に減らすことができます。例えば、鉛直投げ上げで「上向きを正」と決めたなら、重力加速度は必ず \(-g\) として扱わなければなりません。この一貫性を保つことが、論理的な思考を維持する上で極めて重要です。

10.2. ケーススタディ：斜面を滑り降りる物体の運動

座標系設定の威力を具体的に理解するために、斜面を滑り降りる物体の運動を考えてみましょう。（この問題は、力の分析を含むためModule 2, 3の内容を先取りしますが、座標系設定の重要性を示すための例として非常に適しています。）

問題設定:

傾斜角 \(\theta\) の滑らかな斜面上に置かれた物体が、静かに滑り落ち始めます。この物体の加速度はいくらになるでしょうか。

この問題を解くにあたり、二通りの座標系の設定が考えられます。

設定A：水平・鉛直に座標軸をとる（直感的だが非効率）

これは、多くの人が最初に思いつくであろう、ごく自然な設定です。

x軸: 水平右向き
y軸: 鉛直上向き

この座標系で運動を分析してみましょう。

力の分析: 物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、斜面から垂直に受ける垂直抗力 \(N\) です。
力の分解: 運動方程式を立てるには、これらの力をx成分とy成分に分解する必要があります。
- 重力 \(mg\): x成分は 0、y成分は \(-mg\)。
- 垂直抗力 \(N\): これを分解するのが厄介です。x成分は \(-N\sin\theta\)、y成分は \(+N\cos\theta\) となります。
加速度: 物体は斜面に沿って滑り降ります。この加速度ベクトル \(\vec{a}\) も、x成分とy成分に分解する必要があります。\(a_x = a\cos\theta\), \(a_y = -a\sin\theta\) となります。
運動方程式:
- x方向: \(ma_x = -N\sin\theta\)
- y方向: \(ma_y = N\cos\theta – mg\)この連立方程式を解いて、加速度 \(a\) を求めるのは非常に煩雑です。垂直抗力 \(N\) も未知数であり、多くの三角関数が絡んできます。

設定B：斜面に沿って座標軸をとる（非直感的だが超効率的）

次に、物理学者が好む、より戦略的な座標系を設定します。

x軸: 斜面に沿って下向き
y軸: 斜面に垂直で上向き

この座標系で運動を分析し直してみましょう。

運動の方向: この座標系の最大の利点は、物体の運動が完全にx軸方向に限定されることです。したがって、y方向の加速度はゼロ (\(a_y=0\)) であり、x方向の加速度が求めたい加速度 \(a\) そのもの (\(a_x=a\)) になります。
力の分析: 働く力は同じく重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N\) です。
力の分解: 今度は、斜面に垂直な力 (垂直抗力) と斜面に平行でない力 (重力) を、この新しい座標軸に合わせて分解します。
- 垂直抗力 \(N\): y軸の正の向きを向いているので、x成分は 0、y成分は \(+N\) です。分解不要です。
- 重力 \(mg\): これを分解します。
  - x成分（斜面に平行な成分）: \(mg\sin\theta\)
  - y成分（斜面に垂直な成分）: \(-mg\cos\theta\)
運動方程式:
- y方向: 加速度はゼロなので、力のつりあいを考えます。\(ma_y = 0 \Rightarrow N – mg\cos\theta = 0 \Rightarrow N = mg\cos\theta\)
- x方向:\(ma_x = mg\sin\theta \Rightarrow ma = mg\sin\theta\)両辺の \(m\) を消去すると、直ちに結論が得られます。\[ a = g\sin\theta \]

比較と教訓

設定Aと設定Bの結果を比べてみてください。設定Bの方が、計算が圧倒的に単純で、見通しが良いことが一目瞭然です。

これは、運動が起こる方向、あるいは加速度の方向に座標軸の一方を合わせたことで、ベクトル（特に加速度ベクトル）の分解が不要になり、問題の構造が劇的に単純化されたためです。

この教訓は極めて一般的です。

鉛直投射では、運動が鉛直方向に限定されるため、自然と鉛直方向に軸をとりました。
斜方投射では、加速度が鉛直方向にしか存在しないため、水平・鉛直に軸をとるのが最も効果的でした。
円運動（後のモジュールで学習）では、中心に向かう方向と接線方向に軸をとることが多くなります。

問題を解き始める前に一呼吸置き、「この現象は、主にどちらの方向に起こるのか？」「加速度はどちらを向いているのか？」を自問し、最も効率的な座標系を戦略的に選択する。この習慣を身につけることが、物理の問題解決能力を飛躍的に向上させるのです。それは単なるテクニックではなく、物理現象の構造を見抜くための「洞察力」そのものと言えるでしょう。このモジュールで学んだ知識は、すべてこの座標系という舞台の上で演じられる劇なのです。

Module 1：運動の運動学的記述の総括：現象を꿰뚫る「記述の文法」

本モジュールを通じて、私たちは身の回りで起こるあらゆる「運動」という現象を、客観的かつ定量的に記述するための、一貫した知的体系、いわば「物理学の文法」を学んできました。それは、曖昧な日常言語から脱却し、ベクトルと微積分という名の、精密で普遍的な言語へと思考を翻訳するプロセスでした。

まず、すべての物理量を「向き」の有無によってベクトルとスカラーに分類することから始め、この区別が力学の世界の根源的な二元論であることを確認しました。そして、物体の運動状態を定義する基本的な語彙として、基準点からのアドレスである位置、その変化量である変位、そして速度と加速度を、それぞれ平均と瞬間という二つの視点から厳密に定義しました。特に、瞬間の速度・加速度が、位置や速度の時間に関する微分として表現されること、そしてその逆の操作である積分が変位や速度変化の計算（グラフの面積）に対応することを知り、物理現象と微積分との間に横たわる深い結びつきを垣間見ました。

次に、この確立された文法を用いて、最も基本的な運動モデルである等加速度直線運動を分析し、その振る舞いを完全に記述する3つの公式を導出しました。これらの公式が、単なる暗記対象ではなく、加速度の定義から論理的に導かれる必然的な帰結であること、そしてその応用例として、重力下での鉛直投射運動が統一的に理解できることを示しました。

さらに、議論を一次元から二次元へと拡張し、複雑に見える水平投射や斜方投射といった放物運動が、「運動の独立性」という強力な原理を通じて、水平方向の等速直線運動と鉛直方向の等加速度直線運動という、二つの単純な運動の重ね合わせに過ぎないことを見抜きました。運動を成分に分解して考えるというこの視点は、物理学における問題解決の王道とも言えるアプローチです。

そして、運動を数式だけでなくグラフという視覚的なツールで解釈する能力を養い、a-t, v-t, x-tグラフ間の相互変換が、微積分関係（傾きと面積）の応用であることを学びました。また、観測者が動いている場合の相対速度をベクトル演算によって求める方法を習得し、最後に、これら全ての知識を運用するための大局的な戦略として、問題の構造を単純化する座標系設定の重要性を学びました。

ここで得た知識は、単なる断片的な事実の集合ではありません。それは、運動という現象を捉え、分析し、予測するための、相互に関連し合った一つの巨大な論理体系です。この「運動の記述法（Kinematics）」という強固な土台があって初めて、私たちは次のモジュールで、運動の「なぜ？」、すなわちその原因である「力」を探求する「動力学（Dynamics）」の世界へと、自信を持って足を踏み入れることができるのです。この文法を自在に操る能力こそが、これから展開される力学の壮大な物語を読み解くための、不可欠な鍵となるでしょう。

【基礎 物理(力学)】Module 1：運動の運動学的記述